Складність підрахунку графових ендоморфізмів

Гомоморфізм з графа в графі є відображенням від до таке , що якщо і є суміжними в , то і суміжні в . Ендоморфізм графа є гомоморфизмом з до себе; вона є фіксованою без точки, якщо немає такою, що і нетривіальна, якщо вона не тотожність.$G = (V, E)$$G' = (V', E')$$f$$V$$V'$$x$$y$$E$$f(x)$$f(y)$$E'$$G$$G$$x$$f(x) = x$

Нещодавно я задавав питання, пов’язане з посетними (і графними) автоморфізмами , тобто бієктивними ендоморфізмами, навпаки яких також є ендоморфізм. Я знайшов споріднену роботу щодо підрахунку (і вирішення питання про існування) автоморфізмів, але в пошуку я не зміг знайти жодних результатів, пов'язаних з ендоморфізмами.

Звідси моє запитання: у чому полягає складність даного графу у вирішенні питання про існування нетривіального ендоморфізму чи підрахунку кількості ендоморфізмів? Те саме питання з ендоморфізмами без фіксованої точки.$G$$G$

Я думаю, що аргумент, наведений у цій відповіді, поширюється на ендоморфізми і виправдовує те, що випадок спрямованих двосторонніх графіків чи позетів не є легшим, ніж проблема загальних графіків (проблема для загальних графіків зводиться до цього випадку), але його складність не відповідає здається просто визначити. Відомо, що рішення про існування гомоморфізму від одного графіка до іншого є важким для NP (це зрозуміло, оскільки він узагальнює забарвлення графіків), але, схоже, обмеження пошуку гомоморфізмів від графіка до себе може полегшити проблему, тому це не допомагає мені визначити складність цих проблем.

Підрахунок ендоморфізмів або ендоморфізмів без фіксованої точки є завершеним для : заданий зв'язаний графік , розглянемо графік який є нерозривним об'єднанням і трикутника. Тоді , тому можна обчислити, використовуючи два ендоморфізму підраховує (а загальним результатом вистачає навіть одного) та деяку багаторазову післяобробку. Зверніть увагу, що кількість трикутників можна підрахувати в кубічному (або навіть матричному множенні) часі. Це ж рівняння справедливо і для вільних ендоморфізмів з фіксованою точкою, оскільки 3-х забарвлення та трикутники - це ендоморфізми, що не мають фіксованої точки$\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$$G$$G'$$G$$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$$\# 3COL$$G'$.

Якщо ви хочете, щоб був підключений, ви можете зробити наступне. Спочатку зауважимо, що підрахунок вершинних кольорових ендоморфізмів (де вершини кольору можна відобразити лише в інших вершинах кольору ) еквівалентний підрахунку графових ендоморфізмів, як описано нижче. Нехай кольорами будуть . Для кожної вершини$G'$$c$$c$$\{1,...,C\}$$v$ кольору$c$, додайте в новий нерозбірний непарний цикл$C_v$ розміру як мінімум $n + 2c$ ($n=|V(G)|$) і з'єднати одну вершину $C_v$ до $v$. Кожен ендоморфізм Росії$G$ відповідає $2^n$ендоморфізми нового графа (для кожного циклу ви маєте два варіанти, як його скласти). Зауважте, що немає вершин$G$ може відображати вершини будь-яких $C_v$, оскільки цикли занадто великі (ви повинні мати можливість помістити один цикл всередину іншого, що не можна для непарних циклів).

Тепер, щоб зробити версію $G'$що пов'язано, ми починаємо з кольорової версії, а потім застосовуємо вищевказане перетворення. Почніть, як і раніше, додавши в$G$ розрізнений трикутник $\Delta$. Тепер додайте нову вершину$v_0$ що пов'язане з кожною вершиною в $G \cup \Delta$. Колір$v_0$ червоний та всі інші вершини синього кольору.