Чи відомий вже розмір свідків щодо кожної мови НП?

Питання виникло у мене, коли я отримую відповідь Дани Мошковіц на іншу тему .

Нехай $L$ - мова NP , а $R_L$ - відповідне відношення NP . Ми знаємо, що існує такий поліном $p$ , що:

$\forall x \in L, \\, \exists w \in \\{0,1\\}^{p(|x|)} \quad (x,w) \in R_L$

Вищенаведене твердження вимагає лише існування такого $p$ , але воно не змушує його чітко визначатися . На відміну від цього , для кожного НП мову я знаю, $p$ вже відомо:

• Для SAT розмір свідка дорівнює кількості атомів, що фігурують у формулі.
• Для гамільтонічності розмір свідка становить $O(|V|)$ , де $V$ - множина вершин.
• Для Графіку 3-Розмальовки розмір свідка становить $O(|V|)$ , де $V$ - набір вершин.

Чи існує мова NP (навіть штучна), для якої ми знаємо, що існує поліном $p$ обмежує розмір свідка, але ми не можемо чітко визначити $p$ ?

Якщо ви не заперечуєте проти штучних мов, ми можемо побудувати такі проблеми, використовуючи майже будь-яке число k, значення якого невідоме математикам. Наприклад, нам не відомо значення R (5,5) (п’яте число Рамзі ) або розмір найбільшого виключеного другорядця з сімейства графів без вузлів (це число є кінцевим завдяки теоремі Робертсона-Сеймура ), або значення BB (10), де BB () означає функцію Busy Beaver . Нехай k дорівнює будь-якому з цих чисел. Ми знаємо, що k є кінцевим, але ми не знаємо значення k.

Тепер побудуйте певну проблему в NP, де свідок має розмір . Я не можу придумати гарний спосіб зробити це, але ось один із способів. Нехай вхід буде стислим описом графіка. Оскільки розмір опису дорівнює n, графік знаходиться на експоненціально багатьох вершинах. (Наприклад, можливо, вхід - це схема, яка приймає два входи x і y і повідомляє, чи (x, y) - край у графі.) Питання полягає у визначенні, чи містить графік шлях довжиною . Ця проблема є в NP, тому що довідник може надіслати список вершин на шляху в порядку, який перевіряючий може перевірити. Розмір свідка - .$O(n^k)$$n^k$$n^k$