Мультиплікативна версія 3-SUM

22

Що відомо про часову складність наступної проблеми, яку ми називаємо 3-MUL?

Беручи під увагу безліч з цілих чисел, існують елементи таким чином, що ? $S$ $n$ $a,b,c\in S$ $ab=c$

Ця проблема схожа на задачу 3-SUM, яка запитує, чи є три елементи такі, що (або еквівалентно ). 3-SUM передбачається, що вимагає приблизно квадратичного часу в . Чи існує аналогічна гіпотеза для 3-МУЛ? Зокрема, 3-МУЛ відомий як 3-SUM важкий? $a,b,c\in S$ $a+b+c=0$ $a+b=c$ $n$

Зауважимо, часова складність повинна застосовуватися у "розумній" моделі обчислення. Наприклад, ми можемо зменшити з 3-SUM на множині до 3-MUL на множині , де . Тоді рішення 3-MUL, , існує тоді і тільки тоді, коли . Однак це експоненціальне вибуху чисел дуже погано масштабується з різними моделями, як, наприклад, модель ОЗУ. $S$ $S'$ $S'=\{2^x\mid x\in S\}$ $2^a\cdot 2^b=2^c$ $a+b=c$

cc.complexity-theory ds.algorithms time-complexity

— Маркус Джалсеній
джерело

Зниження показує, що 3-MULT є 3-SUM важким, якщо вхідні числа можна виразити, використовуючи експоненціальні (також наукові) позначення.

— Воррен Шуді

4

Будь-який алгоритм для 3-SUM, який спирається виключно на те, що додавання є групою, може бути переведений в алгоритм для 3-MULT, і навпаки. Тому будь-який алгоритм, що розділяє два, повинен робити щось незвичне з числами.

— Воррен Шуді

1

щоб бути жахливо педантичним, нам може знадобитися лише напівгрупа.

— Суреш Венкат

11

Зниження з SUM до MUL працює з незначною стандартною модифікацією. Припустимо, ваші початкові цілі числа були в { }. Після перетворення нові цілі числа знаходяться в { }. Ми зменшимо асортимент. $3$ $3$ $1,\ldots,M$ $x\rightarrow 2^x$ $2,\ldots,2^M$

Розглянемо будь-яку трійку цілих чисел у новому множині . Кількість простих дільників будь-якого ненульового становить . Кількість таких трійки дорівнює . Отже, кількість простих чисел які ділять принаймні одне з ненульових чисел становить . $a,b,c$ $S'$ $ab-c$ $<2M$ $n^3$ $q$ $ab-c$ $2Mn^3$

Нехай - сукупність перших простих чисел. Найбільший такий простір має розмір не більше . Виберіть випадковий простий . З високою ймовірністю не розділить жоден ненульовий , тому ми можемо представити кожну за її залишком, mod , і якщо MUL знайде деякий у , з великою ймовірністю це буде бути правильним для оригінального екземпляра SUM. Ми зменшили діапазон чисел до { }. $P$ $2M\cdot n^4$ $O(Mn^4\log Mn)$ $p\in P$ $p$ $ab-c$ $a\in S'$ $p$ $3$ $ab=c$ $S'$ $3$ $0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Це стандартне зменшення розміру. Ви можете зробити це краще, враховуючи той факт, що це завжди відмінності двох потужностей по ) $ab-c$ $2$

— діви
джерело

1

Хіба ви не зменшили до 3MUL мод просто, а не 3MUL? Можливо, але .

a b = c (\mod () p)

$ab=c \pmod(p)$

a b \neq c

$ab \ne c$

— Воррен Шуді

1

Так, як це, це зменшення до 3MUL mod p. Влучне зауваження.

— virgi

Це дуже цікавий підхід. Однак нас особливо цікавить детерміноване зниження від 3-SUM до 3-MUL. Чи можливо можливо дерандонізувати техніку зменшення розміру?

— Маркус Джалсеній

3

Ви спробували зменшити де ? Результати - це реальні цифри, тому вам доведеться округлити деяку кількість цифр. Щоб переконатися, що цифри додаються правильно, незважаючи на округлення, можливо, вам доведеться додати трохи випадкового шуму. $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$ $M=\max S− \min S$

— Уоррен Шуді
джерело

На жаль, випадковий шум не здається достатнім, щоб виправити помилку округлення. Однак ці ідеї здаються перспективними для зменшення іншого способу показу 3-MULT не складніше, ніж 3-SUM, оскільки наприклад .

(⌈ x ⌉ + 1) + ⌈ y ⌉ = ⌈ x + y ⌉ + 1

$(\lceil x \rceil + 1) + \lceil y \rceil = \lceil x + y \rceil + 1$

— Воррен Шуді

1

Рівняння не здається правильним (спробуйте x і y = 2.1). Чи можете ви пояснити, що ви мали на увазі?

— Рафаель