Чи відомі ефективні загальні межі у стилі Бонферроні?

Класична проблема теорії ймовірностей полягає у вираженні ймовірності події з точки зору більш конкретних подій. У найпростішому випадку можна сказати $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ . Напишемо для випадку . $AB$ $A \cap B$

$P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

Структуру залежності подій можна розглядати як зважений гіперграф із вершинами , при цьому вага ребра представляє ймовірність події, пов’язаної із перетином вершин у краю. $A_i$

Аргумент стилю включення-виключення враховує все більші та більші підмножини подій разом. Вони дають межі Бонферроні . Ці межі використовують всі ваги для ребер до деякого розміру . $k$

Якщо структура залежності "досить приємна", то локальна лема Ловаша може бути використана для обмеження ймовірності від крайніх значень 0 і 1. На відміну від підходу Бонферроні, LLL використовує досить грубу інформацію про структуру залежності.

Тепер припустимо, що відносно мало ваг у структурі залежності не дорівнює нулю. Крім того, припустимо, що існує багато подій, які попарно незалежні, але не є незалежними (і загалом, цілком можливо, що набір $k$ подій не є взаємно незалежними, а є $r$ -значно незалежними для кожного $r < k$ ).

Чи можна прямо використовувати структуру залежності подій для поліпшення меж Бонферроні / Куніаса таким чином, щоб можна було обчислити ефективно?

Я очікую, що відповідь "так", і я би вдячний вказівкам на посилання. Мені відомі статті Хантера з 1976 року, але вона стосується лише парних залежностей. Мисливець розглядає діапазони дерев на графіку, сформованому шляхом ігнорування країв у структурі залежності розміром 3 або більше.

Девід Хантер, верхня межа вірогідності союзу , Журнал прикладної ймовірності 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

reference-request pr.probability

— Андраш Саламон
джерело

Я думаю, що ви знайдете відповідь у статті "Приблизне включення-виключення" від Linial і Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Ар'є
джерело

Це виглядає дуже актуально (офіційне посилання - link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); Є також наступні link.springer.com/article/10.1007/BF01271266 Джефф Кан, Натан Лініял та Олексій Самородницький.

— Андрас Саламон