Тугі нижні межі теореми Савича

Перш за все, я заздалегідь вибачаюся за будь-яку дурість. Я аж ніяк не фахівець з теорії складності (далеко не це! Я студент, який бере свій перший клас з теорії складності) Ось моє запитання. Тепер теорема Савича стверджує, що Мені цікаво, якби ця нижня межа була щільною, тобто це щось уздовж рядків недосяжне.

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{2})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^2\right)$

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{1.9})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^{1.9}\right)$

Здається, що тут має бути зроблений прямий комбінаторний аргумент - кожен вузол у графіку конфігурації для детермінованої машини Тьюрінга має лише один вихідний край, тоді як кожен вузол у графіку конфігурації недетермінованої машини Тьюрінга може мати більше ніж один вихідний край. Алгоритм Савича - це перетворення графіків конфігурації з будь-яким числом вихідного краю в графіки конфігурації з вихідними ребрами. $<2$

Оскільки графік конфігурації визначає унікальну TM (не впевнений у цьому), комбінаторний розмір останньої майже напевно більший, ніж перший. Ця "різниця", можливо, є фактором , можливо, менше - я не знаю. Звичайно, є багато маленьких технічних питань, які потрібно розробити, як, наприклад, як вам потрібно переконатися, що немає циклів тощо, але моє питання, чи це розумний спосіб почати доводити подібну річ. $n^2$

cc.complexity-theory space-bounded

— габго
джерело

Відповіді:

Це добре відоме відкрите питання. Ви побачите в теорії складності багато відкритих запитань, на які вам буде цікаво, як так ніхто не зумів їх вирішити. Частина причини полягає в тому, що нам потрібні нові люди, як ви, щоб допомогти нам їх вирішити :)

Про останні результати в цій області, що показують, що алгоритм Савича є оптимальним для деяких обмежених моделей, дивіться у статті про АОрон Потехін про FOCS .

Зокрема, він починає з приємного зауваження, що оскільки графік конфігурації детермінованої ТМ має лише один вихідний край (після фіксації вводу), можна вважати це ненаправленим графіком, і тому питання стає чимось таким: спрямований графік з вершин з двома спеціальними вершинами , якщо ми відобразимо його на вершин непрямого графа (також із спеціальними вершинами ) таким, що існування кожного краю в залежить від один край у і є шлях від до у iff, є шлях між $G$ $n$ $s,t$ $N$ $G'$ $s',t'$ $G'$ $G$ $s$ $t$ $G$ $s'$ і в , наскільки більше повинно бути від . $t'$ $G'$ $N$ $n$

Щоб показати, що алгоритм Савича є оптимальним, потрібно показати, що має бути принаймні . Щоб показати , достатньо показати слабшу межу, що для кожної постійної . Я майже впевнений, що навіть невідомий, хоча, можливо, щось на зразок відомо з якихось не дуже цікавих причин. $N$ $2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$ $L\neq NL$ $N > n^c$ $c$ $N > n^{10}$ $N \geq n^2$

— Боаз Барак
джерело

Думаю, ми не знаємо, чи це непросто. Інакше ми б знали, що . $L \neq NL$

— Кароліна Солтис
джерело

хороший момент, дякую :) Що стосується другого питання - чи бачите ви явні недоліки у комбінаторному підході до показу такої речі?

— габго

Теорема Савича - це специфічний алгоритм моделювання недетермінованого алгоритму f (n) -простору, використовуючи поділ-і-підкори з глибиною O (f (n)) (даючи f (n) ^ 2). Доведення нижчих меж передбачає показати, що ВСІ алгоритми, які використовують менше місця, на деяких входах провалюються. Це причина, що L = NL важко (а P = NP важко).

— Деррік Столі

Ми не знаємо, чи це тісно в тому сенсі, що ми не знаємо, що 2 - найкраще, що можна зробити, але це не означає, що ми не знаємо .

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

— Каве

Ну, ми цього не робимо. Будь-яке поліпшення (навіть для конкретних , наприклад ) було б головним проривом.

f

$f$

\log n

$\log n$

— Деррік Столі

@Derrick Stolee: Ви пропускаєте точку мого коментаря. Тільки знання позитивної відповіді означає, що аргумент , аргумент Кароліни не дає жодних доказів складності пізнання негативної відповіді, тобто знаходження , схоже, не допомагає проти .

L \neq N L

$L \neq NL$

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

L

$L$

N L

$NL$

— Каве