Твердість стрибає в обчислювальній складності?

Проблема з мінімальною пропускною здатністю полягає у знаходженні впорядкованості вузлів графіків за цілою лінією, що мінімізує найбільшу відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами. -caterpillar дерево формується з основного шляху, вирощуючи реберно непересічних шляхів довжини не більше з його вузлів ( називається довжиною волосся). Проблема мінімальної смуги пропускання є в для 2-гусениць, але вона є неповною для 3-гусениць.$k$$k$$k$$P$$NP$

Ось дуже цікавий факт: проблема мінімальної пропускної здатності вирішується в поліноміальний час для 1-гусениць (довжина волосся не більше однієї), але вона є незавершеною для циклічних 1-гусениць (у циклічної гусениці додається один край для з'єднання кінцевих точок головного шляху). Отже, додавання рівно одного краю робить проблему незавершеною.N $NP$$NP$

Який найяскравіший приклад стрибка твердості проблеми, коли невелика варіація вхідного екземпляра спричиняє стрибок складності від розв'язності полінома-часу до незавершеності?$NP$

Один з більш цікавих прикладних прикладів стрибків твердості можна спостерігати в наступній проблемі:

Розглянемо чемпіонат футбольної ліги з командами: Проблема вирішення питання про те, чи може дана команда (все-таки) виграти лігу в P, якщо в матчі команда-переможець отримує 2 очки, програє 1 і програє кожній команді 1 очко в матчі-розіграші. Але якщо змінити правила так, щоб команда-переможець отримала 3 бали, така ж проблема стає N P -hard.$n$$P$$NP$

Результат може бути узагальнений для будь-якого правила точок для кожного k > 2 і навіть лише для трьох раундів, що залишилися.$(0, 1, k)$$k > 2$

Джерело: "Теорія складності" Інго Вегенер ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

Це відповідає на запитання, задане в заголовку запитання, але не на те, яке задається у запитанні.

Шокуючий приклад твердості при стрибку виникає з питання: "Скільки задовольняючих завдань має плоска формула, модуль ?" Вважалося, що це # P-важко, і це для "більшості" значень n , але якщо n - ціле число Мерсена (наприклад, n = 7 , оскільки 7 має форму 2 3 - 1 ), то відповідь можна обчислити в поліномічний час.$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

Це вперше виявив Валіант у своїй новаторській роботі з голографічними алгоритмами.

НЕЗАЛЕЖНИЙ НАСТРОЙКА є NP-завершеним для (хрест, трикутник) -вільних графіків , але їх можна вирішити в лінійний час для (стілець, трикутник) -вільних графіків . (Без X-графіків - це графіки, які не містять графіка з X як індукованого підграфа.)

стілець: трикутник: хрест:

Зауважте, що хрестик отримують зі стільця, додаючи один край.

Я не впевнений, що я б хотів погодитись із вашою характеристикою, що додавання одного краю до вводу робить проблему NP-повною, оскільки один фактично дозволяє додавати край до кожного з нескінченно багатьох вхідних екземплярів.

Ось приклад проблеми, яка демонструє різку дихотомію у запропонованих вами напрямках.

Проблема визначення того, чи існує гомоморфізм графа від вхідного графіка G до графіка фіксованого шаблону H, знаходиться в P, коли H - графік з самокруткою або двосторонній граф лоопс. Коли H не є двостороннім (це часто може бути досягнуто додаванням одного краю), то проблема стає NP-повною.

• P. Hell та J. Nešetřil, Складність фарбування H , J. Comb. Чт. B 48 92–110, 1990. doi: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

Ключовим тут є те, що 2-забарвлення знаходиться в P (це відповідає гомоморфізму до , шляху на 3 вершини), тоді як 3-забарвлення є NP-завершеним (це відповідає гомоморфізму до K 3 , трикутник).$P_3$$K_3$

Ось ще один цікавий приклад, наведений у індукованому виявленні підграфів:

Тета є графік з несуміжними вершинами $x,y$ , три шляхи $P_1, P_2, P_3$ від $x$ до $y$ , де будь-які два шляхів індукованого циклу з довжиною більше 3.

Піраміда являє собою графік з вершиною $x$ , трикутник $y_1,y_2,y_3$ і шляхи $P_i$ від $x$ до $y_i$ для кожного $i=1,2,3$ , з не більш ніж один шляхом з довжиною однієї.

Нарешті, призма - це графік з двома трикутниками $x_1,x_2,x_3$ і $y_1,y_2,y_3$ та шляхами $P_i$ від $x_i$ до $y_i$ для кожного $i=1,2,3$ .

Це легко описати цифрами:

Для виявлення індукованої тети та піраміди, як відомо, знаходиться в поліномному часі. (Насправді, найвідоміший алгоритм тети займає час $O(n^{11})$ , а для піраміди - $O(n^9)$ . Але для виявлення індукованої призми проблема стає NP-жорсткою.

Для ознайомлення можна побачити " Виявлення індукованих підграфів " Левека, Ліна, Мафрея та Тротіньйона. Причина того, що тета і піраміда відносно легкі, пов'язані з проблемою "три в дереві", описаною в "Проблемі" три в дереві "Чудновським і Сеймуром.

е ... я впевнений, що ви шукаєте менш тривіальні приклади ... але я хотів би зазначити, що є щось особливе щодо числа проти 3 . 2 - S A T до 3 - S A T , 2 - C O L vs 3 - C O L і т. Д. Інтуїтивно я завжди вважав, що це тому, що вузол, який має щонайбільше 2 ребра, може утворювати максимум лінію, але вузол з 3 ребрами може сформувати дерево, коли ми переходимо від 2-3, ми отримуємо комбінаторний вибух.$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

Я думаю, що говорити про випадки не має сенсу. Ми можемо говорити про два розподіли вхідних екземплярів з різними труднощами, але було б цікавіше, якщо існує розподіл між розподілом або між екземплярами в розподілах.

Ми можемо розглянути параметризоване сімейство розподілів, а потім поговорити про те, що відбувається, коли ми змінимо параметр. Вас може зацікавити те, що називається пороговим явищем , "коли система зазнає швидкої якісної зміни внаслідок невеликої зміни параметра ...". Погляньте на це опитування: Ехуд Фрідгут , « Полювання на гострі пороги », Алгоритми випадкових структур 26, 2005.

Я думаю, що один з найяскравіших і найкрасивіших прикладів - випадковий k-SAT з щільністю , фазовий перехід дійсно дивовижний.$\Delta$

Вважаючи типи для лямбда-термінів є DEXPTIME-комплект із системами поліморфного типу пренексу та рангу-2 (коли квантові типи вкладені в глибину, щонайменше, на один рівень), але стає невизначеним для ранжу 3 та вище. Дивно, що один додатковий рівень гніздування може зробити проблему нерозбірливою.

Виявлення основного стану плоскої моделі Ізінга з 0 магнітним полем знаходиться в P, а з ненульовим магнітним полем - NP-жорстким. Функція розподілу плоскої моделі Ізінга з 0 магнітним полем знаходиться в P, а з ненульовим магнітним полем - NP-жорстке.

Ось приємна проблема з цікавим стрибком складності, як мінімальна пропускна здатність, яку ви вирішили у своєму запитанні.

Нехай граф і T остовного дерева G . Крюк для ребра у v ∈ E ( G ) є єдиним у - v шлях в T . Перевантаженість e ∈ E ( T ) , позначена c n g G , T ( e ) - кількість обходів, що містять e . Скупчення G в T , позначене c n g$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$ , максимальна завантаженість по всіх ребрах в T . Сполучного дерева скупчення G , позначимо через и т з ( G ) , є мінімальною перевантаженням по всьому остовних дерев G . Проблема перевантаженості деревця, що задається, задає питання про те, чи є у даного графіка навантаження на дерево, щонайменше, деяке задане k .$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

Наступний стрибок складності показаний у: Bodlaender et al., Параметризована складність проблеми перевантаженості дерев, що перебувають на ділянці , Algorithmica 64 (2012) 85–111 :

Для кожного фіксованого і d задача вирішується за лінійним часом для графів градусів не більше d . На відміну від цього, якщо дозволити лише одну вершину без обмеженого ступеня, проблема негайно стає N P -повною для будь-якого фіксованого k ≥ 8 .$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

Цікаво, чому ніхто про це не згадував:

Хорн-Сб проти К-Сб

Я думаю, всі знають, що це таке. Якщо ні:

Horn-Sat - це встановити, чи є набір застережних ріжків задоволеним (кожен пункт має максимум 1 позитивний буквальний).

K-Sat - це встановити, чи є набір пропозицій задовольняється (кожне застереження може мати більше 1 позитивних літералів).

Таким чином, якщо дозволити більше ніж один позитивний буквальний текст у кожному пункті, це робить проблему від P-завершеною NP-повною.

Графічне забарвлення

Як було сказано в іншій відповіді, 2-COL розв'язується в поліноміальний час, тоді як 3-COL є NP-повним. Але при збільшенні кількості кольорів після деякої (невідомої?) Точки проблема стає простішою!

Наприклад, якщо ми маємо N вершин і N кольорів, проблему можна вирішити, призначивши різній колір для кожної вершини.

Аналогічно: Постійний проти Детермінантний.

Я щойно прочитав документ, який стосується розділення гіперграфа . Проблема визначена так, цитуйте:

$k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

Загалом доведено, що:

• $P^1_k$ is solvable in polynomial time (in $n,m$) for fixed $k \geq 2$
• $P^l_k$ is NP-complete for all fixed $2 \leq l < k$

If this is not "jump" enough, read on. For hypergraphs with disjoint hyperedges, it is shown:

• $P^1_k$ is NP-complete for all fixed $k \geq 2$
• $P^l_k$ is solvable in linear time (in $m$) for fixed $2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet. 2010. NP-hard and linear variants of hypergraph partitioning. Theor. Comput. Sci. 411, 1 (January 2010), 10-21. http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

Interesting complexity jumps are known for the job shop scheduling problem.

In the job shop problem we have a set of $n$ jobs that must be processed on a given set $M$ of $m$ machines. Each job $j$ consists of a chain of $\mu_j$ operations $O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$. Operation $O_{ij}$ must be processed during $p_{ij}$ time units without interruption on machine $m_{ij}\in M$. A feasible schedule is one in which operation is scheduled only after all its preceding operations have been completed, and each machine processes at most one operation at a time. For any given schedule, let $C_j$ be the completioon time of the last operation of job $j$. Taken here.

There are such objectives as minimizing the makespan $C_{max}=max_jC_j$ and total completion time $\sum C_j$. Regular criteria are defined here.

In the notation of Graham et al. this problem is denoted as $J||\gamma$, where $\gamma$ denotes the objective function to be minimized.

$J2|n=k|F$ and $J|n=2|F$ are polynomially solvable. Here $J2$ $(n=k)$ means that the number of machines (jobs) is fixed and equals $2$ $(k)$. $F$ means an arbitrary regular criterion.

$J3|n=3|C_{max}$, $J3|n=3|\sum C$ are weakly NP-hard.

$J2||C_{max}$, $J2||\sum C$ are strongly NP-hard.

Thus, here we can see that there is a jump when we go from two jobs/machines to three.

У багатьох випадках наближення проблем оптимізації NP спричиняє різкі стрибки складності. Наприклад, SET COVER можна наблизити до коефіцієнта$\ln n$ в поліноміальний час (за алчним алгоритмом), але це важко наблизити до коефіцієнта $(1-o(1))\ln n$.

Я думаю, що паскальський трикутник був би ним. Кожен рядок у паскальському трикутнику дорівнює до$2^n$. Елементи є двочленними коефіцієнтами. Тож якщо ви знайдете проблему, продуктивність якої можна описати за допомогою біноміальних коефіцієнтів, то просто вирішення всіх таких задач, пов’язаних із п’ятою рядом паскальського трикутника, вже займає$2^n$. Але зауважте це$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$може бути представлений як многочлен ('a'), який має двофазні коефіцієнти разів потужності 'b' як фактори. Якщо 'b' постійний, це поліном n-го порядку$p_b(a)$. Налаштування$a=b=1$ ви отримаєте розширення $2^n=p_1(1)$як сума. Тепер припустимо, у вас є матриця проблем із продуктивністю в двох змінних, пропорційних біноміальних коефіцієнтів (порівняно з розміром проблеми, описаним двома змінними), розташованими як трикутник паскалу. Тоді вирішення всіх проблем у n-му ряду повинно взяти$DTIME(2^n)$. Біноміальні коефіцієнти описують, скільки існує різних способів вибору k-комбінацій з n елементів. Тож якщо ваш алгоритм залежить від перерахунку k-комбінацій n елементів $(k<n)$алгоритм не може бути багаточленним часом. Тому що, якщо ця проблема була багаточленною, то наведений вище аргумент доводить$P=NP=DTIME(2^n)$, оскільки сума двох многочленів є многочленом. Але правильні докази$P=NP$ проблеми в будь-якому випадку рідкісні.