Чому важлива додаткова млявість?

Комплементарна млявість (КС) зазвичай навчається, коли йдеться про подвійність. Він встановлює приємне співвідношення між первинним і подвійним обмеженням / змінними з математичної точки зору.

Дві основні причини застосування CS (як викладають в аспірантурах та підручниках):

1. Для перевірки оптимальності LP
2. Щоб вирішити подвійне

Враховуючи сьогоднішні обчислювальні потужності та поліномічні алгоритми для розв’язання LP, чи є CS все ще актуальним з прагматичної точки зору? Ми завжди могли просто розв’язати дуалі та вирішити обидва пункти вище. Я погоджуюсь, що розв'язати дуал за допомогою CS "ефективніше", але це так? Або в CS більше, ніж на очі? Де саме CS корисний поза вищезазначеними двома пунктами ? Я часто бачив тексти, що натякають на концепцію CS, коли говорити про алгоритми наближення, але я не розумію його ролі.

Додаткова в'ялість є ключовою при розробці первинно-подвійних алгоритмів. Основна ідея:

1. Почніть із можливого подвійного рішення $y$.
2. Спроба знайти первинне здійсненне $x$ такий як $(x, y)$ задовольняють додаткову млявість.
3. Якщо крок 2. вдався, ми зробили. Інакше перешкода пошуку$x$ дає спосіб модифікувати $y$так що збільшується значення подвійної цілі функції. Повторіть.

Класичний приклад - угорський алгоритм. Алгоритм Форда-Фулкерсона можна розглядати як інший приклад. Зауважимо, що крок 2. - це завдання техніко-економічного обгрунтування, яке часто простіше, ніж оригінальна проблема оптимізації, а також часто може бути вирішено комбінаторно. Це сила взаємодоповнювальної в'ялості. Наприклад, у випадку двостороннього відповідності мінімальної вартості, крок 2 означає перевірку, чи існує ідеальна відповідність із використанням лише жорстких країв. У разі максимуму$s$-$t$ Потік, крок 2 означає перевірку, чи насичені краї відокремлюються $s$ і $t$.

Первинно-подвійні алгоритми приємні з багатьох причин. У філософському плані вони дають більше розуміння, ніж загальний алгоритм. Зазвичай вони дають сильно поліноміальні алгоритми часу, тоді як у нас все ще немає сильно поліноміальних розв'язків LP. Вони часто більш практичні, ніж загальні алгоритми. Це особливо справедливо, якщо ми не можемо записати LP чітко, і єдиним нашим вибором є алгоритм еліпсоїдів, що стосується небіпаративної відповідності та первинно-подвійного алгоритму Едмонда.

Primal-dual також є дуже корисною основою для алгоритмів наближення, використовуючи розслаблені версії комплементарної слабкості. Це було корисно при розробці алгоритмів наближення для NP-важких проблем (див., Наприклад, Глава 7 книги Вільямсона-Шмоїса ) та при розробці онлайн-алгоритмів з хорошим конкурентним співвідношенням (див. Книгу Бухбіндера та Наор ). Суть у тому, що алгоритм підтримує рішення$y$до подвоєння LP розслаблення важкої проблеми, і на кожному кроці або знаходить інтегральну первинну можливу$x$таким, що приблизна додаткова в'ялість задовольняється або покращує подвійне рішення$y$. Орієнтовна додаткова в'ялість є умовою такої форми: якщо$x_i > 0$ то відповідне подвійне обмеження є жорстким, і якщо $y_j > 0$відповідне первинне обмеження було б жорстким, якби $x$ масштабується $\alpha$. Це дає коефіцієнт наближення$\alpha$. Все це дуже красиво пояснено у вищезгаданих двох джерелах.