Які помітні моделі автоматів містять поліноміально-рішучі засоби?

Я намагаюся вирішити конкретну проблему, і я подумав, що, можливо, вдасться вирішити її за допомогою теорії автомати. Мені цікаво, які моделі автоматів мають обмежувальний вміст, який можна вирішити в поліноміальний час? тобто якщо у вас є машини $M_1, M_2$ ви можете перевірити, чи ефективно $L(M_1) \subseteq L(M_2)$ .

Очевидними з них, які приходять у голову, є DFA та лічильні машини, обмежені заднім ходом, де фіксується кількість лічильників (див. Цей документ ).

Які ще помітні класи можна додати до цього списку?

Чим потужніші автомати, тим краще. Наприклад, DFA недостатньо для вирішення моєї проблеми, і лічильні машини не можуть це зробити за допомогою фіксованої кількості лічильників. (Природно, якщо ви занадто потужні, то стримування може бути нерозбірливим, як для НФА, або не визначеним для CFG).

Помітно автоматичні автомати (або вкладені слова , якщо ви віддаєте перевагу роботі з вкладеними словами замість кінцевих слів), розширюють виразну силу детермінованих кінцевих автоматів: клас регулярних мов суворо міститься в класі видимо висунутих мов. Для детермінованих, видимо, автоматичних витискань, проблема включення мови може бути вирішена в поліноміальний час. Детальніше дивіться у статті Алура та Мадхусудана, особливо у розділі 6.

До речі, недетермінований варіант видимої системи автоматичного витиску є експоненціально більш лаконічним, ніж детермінований варіант, але там проблема включення мови є EXPTIME-повною і, таким чином, нерозв'язною.

Alur, R .; Мадхусадан, П. (2009). Msgstr " Додавання структури вкладки до слів ". Журнал ОСББ 56 (3): 1–43.

Якщо у вашому обсязі знаходяться нескінченні слова, ви можете узагальнити DFA (з умовою паритету) до так званих автоматів Good-for-Games (GFG), які все ще містять поліном.

NFA - це GFG, якщо існує стратегія , яка з урахуванням до цього часу префікса, прочитаного та поточного стану та літери, вибирає перехід для переходу до наступного стану. Стратегія σ повинна гарантувати, що для кожного w на мові автомата приймається запуск, отриманий σ on w .$\sigma:A^*\times Q\times A\to \Delta$$\sigma$$w$$\sigma$$w$

Вміст цих автоматів знаходиться в P для будь-яких умов фіксованого паритету (шляхом зменшення до парних ігор), а в Quasi-P, якщо індекс паритету є частиною вхідних даних. Вони можуть бути експоненціально меншими, ніж будь-який еквівалентний DFA [3].

Однак на кінцевих словах - це лише DFA з можливими марними додатковими переходами, тому вони насправді нічого нового не приносять.

Ось кілька посилань:

[1] Розв’язування ігор без визначення , Henzinger, Piterman, в CSL 2006

[2] Недетермінізм у присутності різноманітного чи невідомого майбутнього , Бокер, Куперберг, Купферман, Шкржипчак, в ICALP 2013

[3] Про визначення автоматів , сприятливих для ігор , Kuperberg, Skrzypczak у ICALP 2015

Non детермінованим XOR автомат (NXA) підходить ваше запитання.

NXA по суті є NFA, але слово w ∈ Σ $M$$w\in \Sigma^*$ є у якщо воно приймається непарною кількістю шляхів (відношення Xor) замість того, щоб бути прийнятим, якщо для нього існує приймаючий шлях (Або відношення).$L(M)$

NXA використовуються для створення невеликих уявлень звичайних мов, а також деяких параметризованих алгоритмів.

В результаті 2009 року Вульємін та Гама дали ефективний алгоритм )$O(|Q|^3$ для мінімізації NXA, який можна використовувати для відповіді, чи .$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

Дозвольте мені спочатку зазначити, що ваша проблема не симетрична і що якщо є NFA, а M 2 a DFA, то проблема включення є поліноміальною (просто тому, що вона тестує, чи перетинає комплемент L ( M 2 ) L ( M $M_1$$M_2$$L(M_2)$ ).$L(M_1)$

Існує важливе і нетривіальне узагальнення цього результату: коли $M_2$ є НЕ-неоднозначними (над будь-яким входом, існує більше одного приймаючого прогін). Цей результат доведений у [SH85], але він також має цікаві зв’язки з роботою Шютценбергера [S61], і як наслідок, з NXA, як згадувалося у відповіді вище. (дозвольте подякувати Жак Сакарович за те, що він мені це показав).

Дозвольте навести доказ цього результату.

$M_1$$M_2$$M_2$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

Доказ.
Крок 1: Це зводиться до універсальності однозначних автоматів.

$M_1$$M_1$

$L(M_1)\subseteq L(M_2)$$L(M_2)\cup L(M_1)^c$ , який представлений неоднозначним автоматом поліноміального розміру.

Крок 2: Буває так, що однозначні автомати можуть розглядатися як автомати NXA (недетерміновані автомати XOR у попередньому дописі РБ), без того, щоб оцінювання було змінено (дійсно, диз'юнкція на всі прискорені пробіги еквівалентна xor над усіма прийнятими працює, оскільки існує максимум один такий пробіг). Для цих автоматів універсальність, як відомо, є поліномом (QED).

$Z/2Z$ . Такі автомати були введені Schützenberger у [S61]. У цій роботі він доводить, що еквівалентність (і, отже, універсальність) визначається (використовуючи мінімізацію) для всіх ефективних полів [S61]. Поліноміальна складність через кілька років.

[SH85] Річард Е. Стернс і Гаррі Б. Хант III. Про проблеми еквівалентності та стримування однозначних регулярних виразів, регулярних граматик та кінцевих автоматів. SIAM J. Comput., 14 (3): 598–611, 1985.

[S61] Schützenberger, MP: Про визначення сімейства автоматів. Інформація та контроль 4, 245–270 (1961)

Регулярні граматики LL (k) (тобто граматики, що є LL (k) і регулярними ), можуть бути перетворені за час полінома в еквівалентні детерміновані кінцеві автомати, і таким чином, обмеження мови та їх еквівалентність можуть бути вирішені в PTIME. Дивіться теорему 4.2 у наступному документі (та результати після застосування цього спостереження до програмних схем).

Гаррі Б. Хант III: Спостереження щодо складності проблем регулярного вираження , Журнал комп'ютерних та системних наук 19, 222-236 (1979)