Структура патологічних випадків для симплексних алгоритмів


17

Наскільки я розумію, всі знають детерміновані правила зведення для симплексних алгоритмів мають специфічні входи, на які алгоритм вимагає експоненціального часу (або принаймні не многочлена), щоб знайти оптимум. Назвемо ці випадки «патологічними», оскільки зазвичай (тобто на більшості входів) алгоритм симплекс швидко припиняється. Я пам'ятаю зі свого курсу математичного програмування, що стандартні приклади патологічних випадків для конкретних правил були високоструктуровані. Моє загальне запитання: чи це артефакт конкретних прикладів, чи особливість патологічних випадків взагалі?

Такі результати, як згладжений аналіз та розширюючи його алгоритм поліноміального часу, покладаються на збурення введення --- припускаючи, що патологічні приклади дуже особливі. Звідси інтуїція того, що патологічні випадки високоструктуровані, не здається настільки зрозумілою.

Хтось має якусь конкретну інформацію з цього приводу? Або якісь посилання на існуючі роботи? Я конкретно розпливчав питання про те, що я маю на увазі під "структурованим", щоб намагатися бути максимально охоплюючим, але пропозиції, як краще закріпити "структуровані", також були б корисні. Будь-яка порада чи посилання дуже вдячні!


1
Я не впевнений, чи зрозумів я ваше запитання, але протилежне "структурованому" здається "випадковим". Якщо алгоритм симплексу з певним правилом повороту є неефективним вже для випадкових випадків (з великою ймовірністю, згідно з деяким природним розподілом ), напевно, люди не зацікавлені в тому, щоб створити поганий приклад для цього конкретного правила, що перетворюється, тому що саме це правило, що перетворюється, є марним.
Tsuyoshi Ito

Ви запитуєте: для фіксованого правила, що перетворюється, яка ймовірність того, що випадковий екземпляр буде патологічним? тобто аналіз середнього випадку алгоритму?
Каве

Я не прошу ймовірності того, що випадковий екземпляр є патологічним. Я справді просто запитую, чи патологічні випадки мають до них особливу структуру. Як зазначає Цуйосі, я дійсно повинен обмежувати це «хорошими» стрижними правилами, що б це не означало. Будь-які пропозиції, як зробити це більш зрозумілим?
Артем Казнатчеєв

4
Я вважаю, що багато патологічних випадків - це кубики, сторони яких були зловмисно збурені, але я досить довго давно дивився на це, що моя пам’ять могла бути абсолютно неправильною.
Пітер Шор

Відповіді:


16

Амента і Циглер довели, що всі відомі в даний час конструкції експоненціально-часових екземплярів для симплекса слідують певній структурі, яку вони називають "деформованими продуктами":

Деформовані вироби та максимальні тіні політопів Амента та Циглера

Однак я не думаю, що є підстави вважати, що всі погані екземпляри для симплекса мають цю структуру. Це, мабуть, лише артефакт процесу дослідження:

  1. Клі та Мінті знайшли перший експонентний приклад часу.
  2. Інші дослідники розглядали методи Клі та Мінті і поширювали їх на інші правила стрижня. Вони, природно, взяли шлях найменшого опору і стежили за кубом Клі-Мінти якомога ближче.
  3. Після того, як хтось знайде один поганий приклад для стрижневого правила, у людей немає стимулів шукати більше. В результаті всі відомі нам погані приклади мають подібну структуру.

1
Я завжди люблю соціологічні відповіді на математичне запитання;). Дякую за відповідь! Я детальніше ознайомлюсь з AmentaZiegler1996, чи знаєте ви результати з 96 року, які добре працюють на деформованих продуктах? Я знайшов документ Нормана Заде (з 1980 та 2009 рр.), Який навіть у версії 80-х [ stanford.edu/group/SOL/reports/OR-80-27.pdf ] згадує про подолання деформованої конструкції продукту.
Артем Казнатчеєв

"Деформований продукт" був явно інтуїтивним поняттям у спільноті LP десятиліттями до того, як Ніна та Гантер формалізували його. Звичайно, це точний опис кубів Klee-Minty!
Джефф

1
Дивіться також нижню межу Матушека та Сабо для RANDOM EDGE на "абстрактних кубиках", які можна розглядати як комбінаторних кузенів Аменти та деформованих продуктів Зіглера
Jeffε
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.