Квантові алгоритми, засновані на перетвореннях, відмінних від перетворень Фур'є

У «Квантовому обчисленні» та «Квантовій інформації» Нільсена та Чуанга вони стверджують, що багато алгоритмів, заснованих на квантових перетвореннях Фур’є, покладаються на властивість Косет-інваріантності перетворень Фур'є і припускають, що інваріантні властивості інших перетворень можуть дати нові алгоритми.

Чи були якісь плідні дослідження щодо інших перетворень?

quantum-computing quantum-information

— Сем Бервіль
джерело

Так. Йі-Кай Лю, Шелбі Кіммель та інші розробили квантові алгоритми на основі вейвлетських перетворень, а Стівен Джордан розробив квантові алгоритми, засновані на перетворенні Клебша-Гордана. Ви можете переглядати посилання в Google, інакше можуть надати інші. Звичайно, проблеми, що вирішуються цими алгоритмами, не настільки гучні, як факторинг та дискретний журнал (інакше ви б про це вже чули).

— Скотт Ааронсон

Коментар @ScottAaronson -> відповідь

— Алессандро Косентіно

@ScottAaronson Чудово, я буду розглядати їх. Спасибі!

— Сем Бервіль

Гамільтонові оракули?

— vzn

Yi-Kai Liu розробив квантові алгоритми, використовуючи перетворення кривої (див. Повну версію на arXiv або коротку версію від FOCS).

— Маріс Озолс

Відповіді:

Я хотів би додати ще кілька посилань на коментар Скотта:

Дійсно, перетворення Клебша-Гордана (які можна вважати багатореєстровими квантовими перетвореннями Фур'є) є корисним інструментом при розробці квантових алгоритмів для неабелевих прихованих підгруп (HSP).

Клебш-Гордана перетворення були використані Greg Kuperberg і Oded Регев вирішити двогранний HSP в субекспоненціальное (поки суперполіноміальном) час. Ці квантові алгоритми не є ефективними, але вони мають кращу складність запитів, ніж класичні алгоритми.
$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

Також я хочу додати, що ми не повинні забувати, що як квантові перетворення Фур'є, так і перетворення Клебша-Гордана не завжди є незамінними, навіть якщо вони можуть бути дуже корисними.

В алгоритмі Шора (або навіть у квантовій оцінці) перетворення Фур'є можна замінити тестами Адамара , тому використовуючи лише ворота Адамара замість перетворень Фур'є: цей трюк пов'язаний з Кітаєвим, і про нього ви можете прочитати тут .
Існує ще один ефективний алгоритм для HSP над , Беконом, Чайлдсом, Ван Дамом, який не використовує перетворення Клебша-Гордана. Натомість алгоритм використовує певний тип потужного POVM, відомого як Досить хороший вимір. $\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

Звичайно, цей список, мабуть, неповний. Сподіваюся, хтось вкаже на інші результати, про які ще не було сказано.

— Хуан Бермеджо Вега
джерело

HSP = прихована проблема підгрупи

— vzn

Дякуємо, що вказали на це. Я пояснив абревіатуру в останній редакції.

— Хуан Бермеджо Вега

Не впевнений, чи це безпосередньо пов’язано з вашим запитанням, але прочитавши його, змусило задуматися про статтю Пітера Хьойера, яку я прочитав кілька років тому. У ньому він показує, як найпопулярніші квантові алгоритми, такі як Гровер або Шор, дотримуються тієї ж схеми застосування того, що він називає "сполученими операторами", і він будує нові алгоритми також на основі тієї ж схеми.

Як я вже сказав, минуло кілька років, як я прочитав його, тому опис трохи неохайний, але ось посилання на випадок, якщо ви хочете перевірити його.

http://journals.aps.org/pra/abrief/10.1103/PhysRevA.59.3280

— Філіп Ламонтань
джерело