Перемішування токенів на графіку за допомогою локальних свопів

Нехай - нерегулярний зв’язаний графік, ступінь якого обмежена. Припустимо, що кожен вузол містить унікальний маркер. $G= (V, E)$

Я хочу рівномірно перемістити токени серед графіка, використовуючи лише локальні підкачки (тобто обмін жетонами між двома сусідніми вузлами)? Чи відома нижня межа цієї проблеми?

Єдина ідея, яку я мав, - це скористатися випадковим результатом прогулянки, а потім побачити, скільки мені потрібно міняти, щоб "імітувати" ефект випадкових прогулянок, що транспортують жетони на графіку.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Сильвен Пейроннет
джерело

Яку нижню межу ви шукаєте? Загальна кількість свопів? Кількість паралельних раундів (тобто за 1 крок ви можете поміняти місцями по всіх краях збігу в )? Нижня межа як функція, ? Чи всі вузли знають топологію (і можуть відповідно адаптувати свою поведінку) чи шукаєте фіксовану стратегію, яку можна застосувати в будь-якому графіку?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

Я повинен був бути більш конкретним, вибачте. Метою є розробити метод поширення даних для сенсорних мереж, які уникають проблем методів на основі випадкових прогулянок (по суті, втрати інформації через кілька токенів, що стикаються в одному вузлі). Тому мене цікавить загальна кількість свопів (це дасть кількість повідомлень, що циркулюють у мережі) та кількість раундів (щоб мати приблизну оцінку часу конвергенції). а LB як функція - тонка, і вузли не знають топології (на жаль).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

Відповіді:

Припустимо, ваш графік був контуром. Я думаю, що тоді ця проблема стає еквівалентною сортування випадкової послідовності чисел у масиві шляхом заміни сусідніх записів. Навіть усі вузли знають топологію, ви отримуєте ^ 2 нижню межу щодо кількості свопів (не може бути кращою за сортування бульбашок, який n ^ 2 навіть на випадковому вході).

— Лев Рейзін
джерело

У випадку шляху, процес заміни з вірогідністю 1/2 змішується в

, це було доведено Бенджаміні, Бергером і Гофманом (це було вигадано Діаконісом і Рамом). Тож мій ЛБ також є функцією ступеня, на яку я здогадуюсь ...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Sylvain Peyronnet

Цей депутат говорить, що ви не можете вдосконалити алгоритм, навіть якщо ви можете вибрати свої свопи .... але правильно, я думаю, проблема може стати простішою, коли (середня?) Ступінь зростає.

— Лев Рейзін

Я запланую кілька симуляцій, щоб побачити, як йде справа, коли ступінь зростає.

— Sylvain Peyronnet

Насправді, схоже, цей LB (з деякою модифікацією) буде мати місце, навіть якщо два кінці шляху мають великі кліки - як у 2-х кліках на n / 4, з'єднаних трактом n / 2 вузлів. Зараз середній градус становить O (n), але ви все одно не можете перемогти n ^ 2. Можливо, нам потрібно накласти мінімальний ступінь?

— Лев Рейзін

Так, нам потрібен мінімальний ступінь :(

— Сільвен Пейроннет,

Я хотів би зазначити зв’язок між цією проблемою та сортуванням мереж. Наприклад, якщо ваш графік являє собою шлях, то тривіальна мережа сортування лінійної глибини також показує, що ви можете отримати будь-яку перестановку в лінійному кількості раундів. Більше того, це непросто, оскільки для простої зміни елементів у кінцевих точках шляху потрібна лінійна кількість раундів.

Мережі сортування AKS показують, що є графіки, в яких можна отримати будь-яку перестановку в логарифмічній кількості раундів. Що стосується сіткових графіків, див., Наприклад, ці конспекти лекцій .

(Звичайно, сортування та перетасування - це різні проблеми, але багато верхніх та нижніх меж пов'язані між собою. Наприклад, вибирайте випадкові мітки та сортуйте за мітками.)

— Юкка Суомела
джерело

Дякуємо за вказівник. Я буду копати у цьому напрямку, можливо, це не те, що мені тут потрібно (я не впевнений, чи маю гарний тип графіка), але це, безумовно, буде щось, що я скоріше використаю!

— Sylvain Peyronnet