Чи може афінний аналіз лямбда вирішити кожну проблему в Р?

У розширених темах типів та мов програмування в главі про підструктурні системи типів зазначається, що "ретельно складений" афінний обчислення лямбда з комбінатором рекурсії для списків може вводити лише ті терміни, які мають поліноміальний час роботи (це не представити докази через складність). Це було б дуже цікаво, якби ми могли також вирішити кожну проблему в П. Я міг би спробувати знайти вирішення проблеми, повного P, використовуючи обчислення, представлене я не впевнений, що це насправді щось доведе. Мені здається, це не означає, що він може передбачити всі скорочення, необхідні для вирішення проблеми, що завершується P (хоча це, звичайно, здається ймовірним).

Якщо не відомо, що афінний лямбдальний чисел зможе точно вирішити проблеми в Р, чи є відомі обчислення, які можуть вирішити саме проблеми в Р?

cc.complexity-theory type-theory lambda-calculus

— Джейк
джерело

Вибачте з мого невігластва, але що є прикладом проблеми

завершення , і що ще важливіше, яке поняття скорочення ви використовуєте?

P

$P$

— Андрій Бауер

Я знайшов деякі з wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/P-complete#P-complete_problems . Представляє інтерес проблема значення ланцюга та ріг-SAT. Лінійне програмування також, мабуть,

-повне. Ці слайди описують проблему значення схеми, попередньо добре cs.cornell.edu/courses/CS6820/2012sp/Handouts/cvp.pdf . Здається, що використовуються або зменшення

або

, причому зменшення

є слабкіше, ніж зменшення

Я був би задоволений будь-яким; Я не впевнений , що наслідки використання

проти

точно.

P

$P$

L

$L$

N C

$NC$

L

$L$

N C

$NC$

L

$L$

N C

$NC$

— Джейк

Є лінійні мови, які є повними для P. Цікаво, що вони, як правило, повноцінні для проблем, але не для алгоритмів. Тобто, ви можете написати програму полі-часу для кожної проблеми на P, але не кожен алгоритм багаточастоти є виразним.

— Neel Krishnaswami

Чи буде це твердження приблизно еквівалентним "вони, як правило, повні для P, але не для FP"? Крім того, якщо ви можете надати кілька прикладів, це буде чудовою відповіддю.

— Джейк

Ніл Кришнасвамі, чи можете ви надати довідку? Це звучить цікаво.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Редагувати: моя здогадка в першому пункті нижче неправильна! Уго Даль Лаго вказав мені на пізніший документ Мартіна Хофмана (з'явився у POPL 2002), про який я не знав, показавши (як результат більш загальних результатів), що система з книги ATTPL насправді є повною для ( незважаючи на неможливість обчислити кожну функцію в ). Тож, на мій подив, відповідь на головне питання - так. $\mathsf P$ $\mathsf{FP}$

Що стосується системи ви маєте на увазі (від ATTPL книги), я впевнений , що він не може вирішити , кожна мова в . Він, безумовно, не може обчислити будь-яку функцію в : як зазначено в примітках до цієї глави, ця система взята з документа LICS 1999 Мартіна Гофмана ("Лінійні типи та поліномічне обчислення часу, що не збільшує розмір"), в якому вона показана що представницькі функції полімітні та не збільшують розміри $\mathsf P$ $\mathsf{FP}$ , що виключає безліч функцій політи. Це також, здається, дає серйозне обмеження на розмір стрічки машин Тьюрінга, яку ви можете імітувати цією мовою. У статті Гофман показує, що ви можете кодувати обчислення лінійних просторів; я здогадуюсь, що ви не зможете зробити набагато більше, тобто клас, відповідний цій системі, є приблизно проблемами, що вирішуються одночасно в політемічному та лінійному просторі.

Що стосується вашого другого запитання, то є кілька -calculi , які можуть вирішити саме проблеми в . Деякі з них згадуються в примітках до глави ATTPL, на яку ви посилаєтесь (розділ 1.6): багаторівневий підрахунок Лейванта (див. Його статтю POPL 1993, або документ із Жан-Івом Маріоном "Характеристика обчислення Лембди полі-часу" ", Fundamenta Informaticae 19 (1/2): 167-184, 1993), що пов'язане з характеристикою Беллантоні та Кука для ; і -калькулі, отримані з легкої лінійної логіки Жирара ( Інформація та обчислення , 143: 175–204, 1998) або з м’якої лінійної логіки Лафона ( Теоретична комп’ютерна наука $\lambda$ $\mathsf P$ $\lambda$ $\mathsf{FP}$ $\lambda$ 318 (1-2): 163-180, 2004). Системи типів, що виникають із цих двох логічних систем та забезпечують завершення багаточастотного завершення (при цьому все ще користуються повнотою), можна знайти в:

Патрік Бейлот, Казусіге Теруї. Світлові типи для поліномічного обчислення часу в обчисленні лямбда. Інформація та обчислення 207 (1): 41-62, 2009.

Марко Габорді, Сімона Рончі Делла Рокка. Від легкої логіки до завдань типу: тематичне дослідження. Журнал логіки IGPL 17 (5): 499-530, 2009.

У цих двох статтях ви знайдете безліч інших посилань.

$\lambda$ $\Phi$ $P:\texttt{string}\rightarrow\texttt{bool}$

$\Phi(P)$ $P$ $\mathsf P$

$L\in\mathsf P$ $P$ $L$ $\Phi(P)$

$\Phi$ $L$ $\mathsf P$ $P$ $L$ $\Phi(P)$ $P'$ $L$ $\Phi(P')$ $P'$ $P$ $\Phi$ $L$ $P$ $\Phi$

Системи навмисно повного типу, які здатні вводити саме такі програми , як політайми ширшої мови (система F у моєму прикладі вище), існують. Звичайно, вони взагалі не можна визначити. Подивитися

Уго Даль Лаго, Марко Габорді. Лінійні залежні типи та відносна повнота. Логічні методи в інформатиці 8 (4), 2011.

— Даміано Мацца
джерело

Я не розумію, що ви намагаєтесь сказати у другій половині. Виходячи з Вашого опису, відбувається синтаксична трансформація багаторазових машин Тьюрінга на F-програми, що вирішують ту саму проблему. Наскільки я бачу, це найкраще, на що можна сподіватися при перекладі з однієї моделі обчислення в іншу.

— Emil Jeřábek

Φ

$\Phi$

N a t := \forall X . (X \to X) \to X \to X

$Nat:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$

λ m^{N a t} . λ n^{N a t} . Λ X . λ s^{X \to X} . m X (n X s)

$\lambda m^{Nat}.\lambda n^{Nat}.\Lambda X.\lambda s^{X\rightarrow X}.mX(nXs)$

f o r

$\mathtt{for}$

Я думаю, це нормально. Мене в основному цікавить пошук функцій (пошук функцій, які максимізують певну властивість), тому мені не потрібно бути програмістом, а комп'ютер. Сьогодні вночі мені доведеться десь подивитися хоча б ці посилання. Дякую!

— Джейк