Яка очікувана глибина випадково генерованого дерева?

Я думав над цією проблемою дуже давно, але не маю про неї уявлень.

Алгоритм генерації полягає в наступному. Ми припускаємо, що існує $n$ дискретних вузлів, пронумерованих від $0$ до $n - 1$ . Тоді для кожного $i$ в $\{1, \dotsc, n - 1\}$ ми робимо батьківський $i$ й вузол у дереві випадковим вузлом у $\{0, \dotsc, i - 1\}$ . Ітерайте через кожне $i$ для того, щоб результат був випадковим деревом з кореневим вузлом $0$ . (Можливо, це недостатньо випадково, але це не має значення.)

Яка очікувана глибина цього дерева?

Я думаю, що є результат концентрації щодо , але я ще не заповнив деталі.$e \log n$

Ми можемо отримати верхню межу ймовірності того, що вузол має d предків, не враховуючи 0 . Для кожної можливої повної ланцюга д ненульових предків ( в 1 , 2 , . . . , Д ) , ймовірність того , що ланцюга $n$$d$$0$$d$$(a_1,a_2,...,a_d)$ . Це відповідає$(\frac{1}{a_1})(\frac{1}{a_2})\cdots (\frac{1}{a_d}) \times \frac{1}{n}$ разів термін(1+$\frac{1}{n}$де впорядковані терміни. Отже, верхня межа для цієї ймовірності дорівнює$(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \cdots \frac{1}{n-1})^d$ деHn-1-n-1-е гармонічне число1+$\frac{1}{n (d!)} H_{n-1}^d$$H_{n-1}$$n-1$ . Hn-1≈log(n-1)+γ. Для фіксованихdіn→∞ймовірність того, що вузолnзнаходиться на глибиніd+$1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n-1}$$H_{n-1} \approx \log (n-1) + \gamma$$d$$n \to \infty$$n$$d+1$ є максимум

$$\frac{(\log n)^d}{n (d!)} \left(1+o(1)\right)$$

За наближенням Стірлінга ми можемо оцінити це як

$$\frac{1}{n\sqrt{2\pi d}} \left( \frac{e \log n}{d} \right)^d.$$

Для великих , що набагато більше, ніж e log n , основа експоненціалу мала, тому ця межа мала, і ми можемо використовувати об'єднання, пов'язане, щоб сказати, що ймовірність наявності хоча б одного вузла з d ненульовими предками малий.$d$$e \log n$$d$

---

Побачити

Люк Девроє, Омар Фаузі, Ніколя Фрейман. "Глибинні властивості масштабованих вкладень випадкових рекурсивних дерев."

Б. Піттель. Зверніть увагу на висоти випадкових рекурсивних дерев та випадкових дерев, що шукають m-arry. Випадкові структури та алгоритми, 5: 337–348, 1994.

У перших твердженнях останній показав максимальну глибину з високою ймовірністю, і пропонує ще одне підтвердження.$(e+o(1))\log n$

На це питання відповіли кілька років тому, але, просто заради задоволення, ось простий доказ верхньої межі. Даємо зв’язок на очікування, потім прив’язуємо хвіст.

Визначте rv глибину вузла i ∈ { 0 , 1 , … , n - 1 } . Визначте ϕ i = ∑ i j = 0 e d j$d_i$$i\in\{0,1,\ldots,n-1\}$$\phi_i = \sum_{j=0}^i e^{d_j}.$

лема 1. Очікувана максимальна глибина, - не більше$E[\max_i d_i]$ .$e\, H_{n-1}$

Доказ. Максимальна глибина - не більше . Для закінчення показуємо E [ ln ϕ n - 1 ] ≤ $\ln \phi_{n-1}$ .$E[\ln \phi_{n-1}] \le e\, H_{n-1}$

Для будь-якого , що обумовлює ϕ i - 1 , шляхом огляду ϕ i , E [ ϕ $i\ge 1$$\phi_{i-1}$$\phi_i$

$$\textstyle E[\phi_i\, |\, \phi_{i-1}] \,=\,\phi_{i-1} + E[e^{d_i}] \,=\, \phi_{i-1} + \frac{e}{i} \phi_{i-1} \,=\, (1+\frac{e}{i}) \phi_{i-1}.$$

By induction it follows that

$$\textstyle E[\phi_{n-1}] \,=\, \prod_{i=1}^{n-1} (1+\frac{e}{i}) \,<\, \prod_{i=1}^{n-1} \exp(\frac{e}{i}) \,=\, \exp(e\, H_{n-1}).$$

$$E[\ln \phi_{n-1}] \,\le\, \ln E[\phi_{n-1}] \,<\, \ln \exp(e\, H_{n-1}) \,=\, e\, H_{n-1}.~~~~~~~\Box$$

Here is the tail bound:

lemma 2. Fix any $c \ge 0$. Then $\Pr[\max_i d_i] \ge e\,H_{n-1} + c$ is at most $\exp(-c)$.

Proof. By inspection of $\phi$, and the Markov bound, the probability in question is at most

$$\Pr[\phi_{n-1} \ge \exp(e\,H_{n-1} + c)] \,\le\,\frac{E[\phi_{n-1}]}{\exp(e\,H_{n-1} + c)}.$$ From the proof of Lemma 1, $E[\phi_{n-1}]\le \exp(e\,H_{n-1})$. Substituting this into the right-hand side above completes the proof.$~~~\Box$

As for a lower bound, I think a lower bound of $(e-1)H_n - O(1)$ follows pretty easily by considering $\max_i d_i \ge \ln\phi_t - \ln n$. But... [EDIT: spoke too soon]

It doesn't seem so easy to show the tight lower bound, of $(1-o(1))e H_n$...

I have actually thought about the same question (although in a completely different formulation) a few months ago, as well as some close variants.

I don't have a closed form (/ asymptotic) solution for it, but you might find this view useful (are you only looking for upper bound perhaps?).

The process you describe here is a generalization of the Chinese Restaurant Process, where each "table" is a subtree whose root's parent is $v_0$.

This also gives us a recursion formula for your question.

Denote by $h(n)$ the expected heights of a such tree process with $n$ nodes.

Denote by $P_n(B)=\frac{\Pi_{b\in B} (b-1)!}{n!}$ (the probability of distribution $B$ of the nodes into subtrees).

Then the quantity you're looking for, $h(n)$, is given by:

$$h(n)=\sum_{B\in \mathcal B_n}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)$$

If you wish to code this recursion, make sure you use the following so it won't go into infinite loop:

$$h(n)=\frac{\sum_{B\in \mathcal B_n\setminus \{\{n\}\}}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)}{1-\frac{1}{n!}}$$

Where $\mathcal B_n$ is the set of all partitions of $n$ identical balls into any number of non-empty bins, and $h(1)=1$.

---

In practice, when I needed this I just used a simple monte-carlo method for estimating $h(n)$, as trying to actually compute $h$ by this method is extremely inefficient.