Як знайти цікаві дослідницькі проблеми

Незважаючи на кілька років занять, я все ще втрачаю питання щодо вибору теми дослідження. Я переглядав документи з різних областей і спілкувався з професорами, і починаю вважати, що це неправильний підхід.

Я читав, що це допомагає знайти цікаву проблему (не забудьте про цю область) і потім працювати над цим. У підручниках згадуються відомі нерозв’язані, але я не хотів би їх вирішувати безпосередньо. Дослідження лише згадували позитивні результати, а не невдалі спроби.

Як я можу знайти цікаві проблеми дослідження? Як ви знаходите цікаві проблеми дослідження? Чи є десь список?

Як ви вирішите, чи варто працювати над певною проблемою?

Я категорично не згоден з підходом "знайти список відкритих проблем". Зазвичай відкриті проблеми досить важко досягти прогресу, і я повністю не переконаний, що хороші дослідження проводяться шляхом вирішення якоїсь важкої, але нецікавої проблеми в технічній галузі.

Зважаючи на це, звичайно, вирішення відкритої проблеми справді добре для академічних даних. Але це не те, про що ви запитуєте.

Дослідження - це процес, покликаний створити розуміння на високому рівні. Вирішення технічних завдань є засобом для цього: часто проблема та її вирішення висвітлюють структуру чи поведінку якогось наукового явища (математичної структури, практики мови програмування тощо).

Тому моя перша пропозиція: знайти проблему, яку ви хочете зрозуміти. Дослідження принципово стосуються плутанини. Чи є якісь конкретні теми, які вас цікавлять, але ви вважаєте, що маєте принципово неповне розуміння або які здаються технічно зрозумілими, але вам не вистачає доброї інтуїції? Це хороші вихідні точки. Дотримуйтесь порад Террі Дао, задайте собі німі запитання! З цих міркувань виходить багато хороших досліджень. Насправді вся ця сторінка містить масу гарних порад. Зауважте, що якщо ви дивитесь на добре вивчену проблему чи поле, навряд чи ви отримаєте оригінальну інформацію одразу, тому важливо читати літературу одночасно з власними дослідженнями.

По-друге, не знижуйте спілкування зі своїми професорами. Запитайте їх про власні дослідження, не обов'язково про проекти, які вони хочуть дати вам. Взяти участь у розмові! Це допомагає вам з’ясувати, що вас цікавить, а також як виглядає дослідницький ландшафт у їхній галузі. Дослідження не відбуваються у вакуумі, тому ви повинні поговорити зі своїми однокурсниками, докторами кафедри, ходити на бесіди та семінари у вашому університеті тощо. Ви побачите, що занурення у дослідницьке середовище допомагає робити дослідження набагато більше, ніж знайти список чи конкретну проблему та заблокувати себе у своєму офісі.

Нарешті, я б запропонував попрацювати над чимось невеликим . Дослідження знизу вгору набагато більше, ніж зверху вниз, і рідко виходить, що дуже просте завдання (написання доказу чи програми) виявляється таким же простим, як ви цього очікували. Виконуючи кілька невеликих проектів, які не мають масштабів дослідження (розширення домашніх завдань, написання пояснень чогось, чого ви дізналися), часто складаються у справжні дослідницькі матеріали. На початку прийнято намагатись "стати великим", але саме так працює наш мозок.

Девід Гільберт - відомий математик. Він виклав список 23 невирішених проблем на Міжнародному конгресі математиків у Парижі 1900 року.
Я просто хочу процитувати частину інтерв'ю Юрія Маніна під назвою "Добрі докази - це докази, які роблять нас мудрішими" про Гільберта та його список:

Цьогорічний Міжнародний конгрес - це останній МКМ у цьому столітті. Як ви вважаєте, Гілберт все ще можливий? Чи є сучасні проблеми, що відповідають проблемам Гільберта?
Я насправді не вірю, що список Гільберта відігравав велику роль у математиці цього століття. Це, безумовно, було психологічно важливим для багатьох математиків. Наприклад, Арнольд розповів, що, будучи молодим аспірантом, він копіював перелік проблем Гільберта у своєму зошиті і завжди зберігав його при собі. Але коли Гельфанд дізнався про це, він насправді знущався над Арнольдом. Арнольд розглядав рішення проблеми як важливу частину великих математичних досягнень. Для мене це інакше. Я бачу процес математичних творінь як свого роду розпізнавання попередньо існуючого зразка. Коли ви вивчаєте щось - топологію, теорію ймовірностей, теорію чисел, будь-що інше - спочатку ви набуваєте загальне бачення величезної території, потім орієнтуєтесь на її частину. Пізніше ви намагаєтесь розпізнати «що там?» І «що вже бачили інші люди?».
Чи наголос на проблемах вирішує якийсь романтичний погляд: великий герой, який підкорює гору?
Так, якось спортивний погляд. Я не кажу, що це не має значення. Це досить важливо для молодих людей, як психологічний пристрій заманювати молодих людей для створення певного соціального визнання для великих досягнень. Хороша проблема - це втілення бачення великого математичного розуму, який не міг бачити шляхів, що ведуть на деяку висоту, але визнавав, що є гора. Але це ні в якому разі не бачити математику, ані спосіб представити математику широкій публіці. І це не суть. Особливо, коли такі проблеми заносяться до списку, це щось на зразок переліку столиць великих країн світу: він передає мінімально можливу інформацію взагалі. Я насправді не вірю, що Гільберт вважав, що це спосіб організації математики.

це в кінцевому підсумку суб'єктивне та особисте питання, і "в довгостроковій перспективі", які проблеми вважаються важливими до певної міри, виходять і виходять із наукової моди, але можуть бути деякі грубі загальні рекомендації, з якими багато хто погодиться, а також провідні експерти розглядав питання. проблеми досить всюдисущі, і це більше процес його звуження.

• №1 у списку майже завжди, поговоріть зі своїм радником! це частина їх роботи, і якщо він / хто не збирається з будь-якими ідеями, ніж, можливо, це не є великим знаком, і ви вважаєте, що ви можете отримати вигоду чи потребувати іншої.

• над чим працює багато людей у ​​вашому університеті? кожен університет, як правило, має особливі спеціалізації, і буде виникати ентузіазм або навіть хвилювання щодо певних напрямків / проблем.

• подивіться нагороди в цій галузі, щоб побачити, які галузі вони вивчають, чи призи. в ТКС її Тьюринга , гёделевскому премії , премії Неванлінни , Millenium призи . Очевидно, це дуже гарні / проривні роботи, але за своєю природою вони охоплюють великі райони, де є додаткова робота.

• топ-блоги TCS - це чудове джерело, що сприймає зацікавленість громади у різних проблемах.

щоб відповісти на це питання, може бути проникливим "повернутися до коріння" в наступному сенсі. Одним з легендарних майстрів у цій галузі серед найбільших можливих результатів є математик Гільберт, і багато його фундаментальних ідей щодо вибору проблем застосовуються та варті перегляду / вивчення. багато з його відкритих проблем, які спричинили математику на межі XX століття, виявилися дивовижними / глибокими зв'язками з алгоритмічною теорією wrt, наприклад, невирішеність, наприклад, ТМ Годеля, проблема зупинки та основна проблема 10-го . його погляди узагальнені Лагарієм, розділ 9, оцінюючи гіпотезу Колатца як "хорошу проблему":

Важко і часто неможливо заздалегідь правильно оцінити значення проблеми; адже остаточна нагорода залежить від вигоди, яку отримує наука від проблеми. Тим не менш, ми можемо запитати, чи існують загальні критерії, які позначають хорошу математичну проблему. Старий французький математик сказав: "Математичну теорію не слід вважати завершеною, поки ви не зробите це зрозумілим, що ви зможете пояснити це першому чоловікові, якого зустрічаєте на вулиці". Ця чіткість і простота розуміння тут наполягали що стосується математичної теорії, я повинен ще більше вимагати математичної задачі, якщо вона повинна бути досконалою; бо те, що зрозуміле і легко зрозуміле, приваблює, складне відштовхує нас. Більше того, математична проблема повинна бути складною для того, щоб заманювати нас, але не зовсім недоступною, щоб не знущатися над нашими зусиллями. Це повинно бути для нас довідником по неприємних шляхах до прихованих істин і, зрештою, нагадування про наше задоволення від його успішного вирішення.

Lagarias резюмує ці елементи як:

1. Чи проблема чітка, і просто заявлена ​​проблема?
2. Це складна проблема?
3. Чи здається це доступним і не "знущається над нашими зусиллями щодо вирішення"?

на жаль, багато відкритих проблем провалюються на №3, але, як було сказано, завжди є проблеми та розслаблення, які вважаються більш доступними, і навіть просто формулювання цих релаксацій може вважатися частиною вагомих досліджень.