Яке математичне підґрунтя потрібно для теорії складності?

Зараз я студент магістратури, який повинен закінчити цей рік. Після закінчення навчання я збираюся працювати над магістром / доктором технічних наук. Мене почало цікавити, які галузі математики вважаються корисними для ТКС, особливо (класичної) теорії складності.

Які сфери ви вважаєте важливими для того, хто хоче вивчити теорію складності? Чи знаєте ви якісь хороші підручники, що охоплюють ці поля, і якщо так, будь ласка, включіть рівень їх складності (вступний, випускний тощо).

Якщо ви вважаєте поле, яке не використовується широко в теорії складності, але ви вважаєте його критичним для TCS, будь ласка, також зверніться до нього.

Якщо ви подивитесь на відповіді на це запитання щодо TCS StackExchange , ви побачите, що існує велика можливість, що будь-яка область математики може бути важливою в теорії складності. Тож, якщо ви дійсно зацікавлені в тій чи іншій галузі математики, яка, здається, не пов’язана між собою, продовжуйте її вивчати все одно. Якщо він коли-небудь стане актуальним для теорії складності, ви будете одним з небагатьох теоретиків складності, який це розуміє.

До свого списку слід додати книгу Декстера Козена про теорію обчислень. Дуже ефективно висвітлює основи теорії складності, а формат коротких лекцій - чудовий.

Що стосується математичного походження, крім того, що було сказано вище:

• Теорія ймовірностей
• Лінійна алгебра та абстрактна алгебра
• теорія графів
• основна логіка

Я не думаю, що вам потрібно бути майстром цих тем для початку, але це, безумовно, допомагає мати певний рівень комфорту.

A C $\bullet$ Книга " Екстремальна комбінаторика " Стасіса Юкна є надто маловідомою в рамках спільноти складності. Це чудова колекція комбінаторних методик, написаних значною мірою з огляду на їх застосування в TCS (переважно складності). Ряд важливих методів складності обговорюється в контексті їх комбінаторики, включаючи відомі результати, такі як монотонна та ланцюги , а також деякі дуже приємні результати, з якими ви могли б не зустрітись інакше. І вправ багато.$AC^0$

Це (наскільки мені відомо) єдина опублікована книга, яка глибоко розглядає «метод лінійної алгебри в комбінаториці» - гладкий, потужний інструмент, про який потрібно знати. Є проект рукопису Бабая і Франкла, який заглиблюється в більшу глибину, але він не публікується або в Інтернеті:

https://cs.uchicago.edu/page/linear-algebra-methods-combinatorics-applications-geometry-and-computer-science

$\bullet$ Як ви, напевно, знаєте, імовірнісний метод комбінаторики є дуже важливим, навіть центральним, в теорії складності. Книга Юкни висвітлює її, але вона розглядається в більшій глибині (з багатьма іншими прекрасними прикладами) відомою книгою Алона та Спенсера " Імовірнісний метод".

У попередніх відповідях уже були перелічені основні: теорія ймовірностей, комбінаторика, лінійна алгебра, абстрактна алгебра (кінцеві поля, теорія груп тощо).

Я додам:

Аналіз Фур'є , див., Наприклад, курс Райана О'Доннеля: http://www.cs.cmu.edu/~odonnell/boolean-analysis/

Теорію кодування див. Курс Мадху Судана: http://people.csail.mit.edu/madhu/coding/course.html

Теорія інформації , стандартна книга - Елементи теорії інформації: http://www.amazon.com/Elements-Information-Theory-Telecommunications-Processing/dp/0471241954

Є також теорія представництва, випадкові прогулянки та багато іншого, що я, мабуть, забуваю ...

Окрім основних речей, ймовірно:

• Комбінаторика - Ви можете виявити, що ви рахуєте речі досить регулярно
• Стохастика - для середнього аналізу випадків та рандомізованих алгоритмів

Мені подобається конкретна математика Кнут. Це дає хороший огляд / основні знання багатьох важливих інструментів.

Якщо ви хочете виробляють функції (див generationfunctionology по Вільф) в якості інструменту, комплексний аналіз пригождается, теж.

У Саньєєва Арора є хороший документ для курсу (для студентів 1 курсу), який він викладав під назвою "інструментарій теоретика", який має багато основного матеріалу, який повинен знати студент теорії. Багато цього матеріалу ви можете дочекатися, поки навчатись у школі, але це дасть вам гарне уявлення про те, що вам потрібно знати, та деякі передумови.

Загальна, хоча і не універсальна парадигма для багатьох успішних дослідників спільноти ТКС полягає в наступному: знати декілька основ на рівні бакалаврату, такі як логіка, лінійна алгебра, ймовірність, оптимізація, теорія графів, комбінаторика, основна абстрактна алгебра. Крім того, не змушуйте себе вчитися чомусь іншому, поки ви по-справжньому не подумаєте, що вам це потрібно, щоб зламати цю проблему, з якою ви боретеся місяцями, або якщо ви думаєте, що вам дійсно б сподобалося навчитися чогось заради цього.

"Як я знаю, що він мені потрібен, якщо я його ніколи раніше не бачив?", Запитаєте ви? Гарне питання. Іноді тобі пощастило і відчуєш це: "Ви знаєте що, ця підпроблема, яку я намагаюся вирішити, звучить дуже схоже на те, що трансформація фур'є-трансмісіїмаджігі Фред не заткнеться. Мені доведеться це перевірити чи вловити Фред в кімнаті і запропонуйте йому швидко пробігти основи ". В іншому випадку ви вловлюєте в кімнаті купу людей, які більше знають, ніж ви самі, говорите, проводячи семінарські розмови чи щось таке, і скуготаєте, як ви не можете вирішити цю проблему, поки Фред не звучить "Ей, я обдякаю, що ти Ви можете вирішити це за допомогою Фур'є-аналізу. Дозвольте мені показати, як ". Зрештою, ви отримуєте спільний папір з Фредом, ви дізналися щось нове, і ви з Фредом - найкращі друзі зараз і виходите пити кожні наступні суботні вечора.

Я думаю, що список математичних полів, які не є корисними, був би набагато коротшим, ніж список полів, які є! Я не можу придумати жодного.

Вивчіть те, що математика виглядає цікавою, та / або, як це виглядає, як вам потрібно на даний момент. Навіть якщо ви не використовуєте його безпосередньо, це допоможе вам вивчити інші речі, які ви робите.

Знання основної математичної логіки є, на мою думку, плюсом. Ви можете подивитися на дві книги Корі та Ласкара.

Математична логіка: курс з вправами, частина I

Математична логіка: курс з вправами, частина II

Рекомендую поглянути на ці книги:

• Супутник Прінстона з математики
• Логіка в інформатиці; Моделювання та обґрунтування систем

Крім того, теми на конференції MFCS (Математичні основи інформатики) можуть привести вас до того, який фон вам може знадобитися. (Caveat: конференція включає в себе дуже вдосконалені теми. Вам не потрібно їх освоювати. Просто спробуйте отримати широку картину.)

Теорія чисел не згадується, але це дуже важливий інструмент для багатьох криптографічних та теоретично складних конструкцій.

Теорія представлення кінцевих груп (також над кінцевими полями) може бути напрочуд корисною для різних завдань, включаючи:

• алгоритми множення матриці ( Кон - Кляйнберг-Сегеді-Уманс )

• побудова локально декодованих кодів (див., наприклад, цей документ Кліма Єфременка)

• програми в квантових обчисленнях (задача прихованої підгрупи для неабелевих груп, мультиплікативний супротивник)

$S_n$

Рекомендую прочитати книгу Гарі та Джонсона

Комп'ютери та нездатність: Посібник з теорії повноти NP .

Це можна прочитати з дуже малою математичною основою. Я думаю, що цю книгу радіти читати, і я рекомендував би її як першу книгу над Пападімітріу та Аророю / Бараком. Прочитавши це, ви можете зануритися в інші книги та визначити різні шматочки математики, які вам потрібні для розуміння розширених тем, які вас цікавлять.

Колись бакалавратський курс CS464 (2002) в UWaterloo CS використовував обчислювальну складність Крістоса Х. Пападімітріу , Аддісон-Уеслі, 1994.

Перелічені основні теми включають машини Тьюрінга, нерозбірливість, складність у часі та повноту NP.

Для заднього перегляду перегляньте свою бібліотеку поблизу QA267.G57 ( Введення Годдардом теорії обчислень , заснованої на швидкому прочитанні чи два-два пропуски та її доступності для мене, здається, покриває сторону CS фону; у мене є певний набір та група теорія з чистої математичної сторони також була б корисною.)