Класифікація оборотних воріт

Решітка Поста , описана Емілем Постом у 1941 р., В основному є повною схемою включення наборів булевих функцій, закритих під композицію: наприклад, монотонних функцій, лінійних функцій над GF (2) та всіх функцій. (Пост не припускав, що константи 0 і 1 доступні безкоштовно, що зробило його решітки набагато складнішими, ніж це було б інакше.)

Моє запитання - чи не було опубліковано нічого подібного для класичних оборотних воріт, як, наприклад, ворота Тоффолі та Фредкіна. Тобто, які класи оборотних перетворень на {0,1} ⁿ можуть бути породжені деякою колекцією оборотних воріт? Ось правила: ви дозволили необмежену кількість Ancilla бітів, деякі предустановки 0 , і інші предустановки 1, до тих пір , як все Ancilla біти повертаються до початкових значень , як тільки ваш перетворення {0,1} ^п є закінчив. Крім того, SWAP у 2 біти (тобто відновлення їх індексів) завжди доступний безкоштовно. Відповідно до цих правил, ми з моїм учнем Люком Шеффером змогли визначити наступні десять перетворень:

Порожній набір
Набір, згенерований воротами NOT
Набір, згенерований NOTNOT (тобто, ворота NOT, застосовані до будь-якого 2 біта)
Набір, сформований CNOT (тобто ворота Controlled-NOT)
Набір, згенерований CNOTNOT (тобто, переверніть 2-й та 3-й біти, якщо 1-й біт дорівнює 1)
Набір, згенерований CNOTNOT та NOT
Набір, згенерований воротами Фредкіна (тобто Controlled-SWAP)
Набір, створений Fredkin та CNOTNOT
Набір, створений Fredkin, CNOTNOT та NOT
Сукупність усіх перетворень

Ми хотіли б визначити будь-які інші сім'ї, а потім довести, що класифікація завершена --- але, перш ніж ми витрачатимемо на неї багато часу, ми хотіли б дізнатися, чи хтось робив це раніше.

circuit-families

— Скотт Ааронсон
джерело

Чи не вистачає вам NOTCSWAP та (CSWAP, NOTCSWAP), де NOTCSWAP - це як контрольований своп, але він міняє своїми x, y аргументами, коли його аргумент c дорівнює 0 (замість того, щоб заміняти, коли c - 1, як у CSWAP)? Вам потрібно обоє з них, щоб отримати усі перестановки ваги Хеммінга: перестановка CSWAP перетворює лише вектори ваги Хеммінга ≥2, тоді як NOTCSWAP перетворює лише вектори ваги Хеммінга ≤n-2.

— Девід Еппштейн

Крім того (вичерпано місце в попередньому коментарі), вимагаючи, щоб більша кількість контрольних бітів була нульовою або ненульовою, ви можете отримати ще більш обмежені підмножини ваги Хеммінга, що зберігають перестановки, лише переводячи вектори з вагою Хеммінга принаймні або максимум довільними пов'язаний. Таким чином, це дає значно багато класів перетворень.

— Девід Еппштейн

Дякую, Девіде, але я припускав, що 0 і 1 провідники були доступні безкоштовно, саме для того, щоб виключити подібні «збочення». Хіба це не робить?

— Скотт Ааронсон

Нехай - клас усіх перестановок, що зберігають модуль ваги Хеммінга . Тоді задовольняє ваші вимоги, а iff : невключення іншому місці засвідчуються функцією -ary st , , і для . Зокрема, всі ці нескінченно багато класів виразні.

C_{n}

$C_n$

n

$n$

C_{n}

$C_n$

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$

m | n

$m|n$

C_{n}

$C_n$

n

$n$

f_{n}

$f_n$

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$

f (x) = x

$f(x)=x$

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Дивіться статтю eccc.hpi-web.de/report/2015/066, в якій ці ідеї відшліфовані, а також згадується відповідь Еміля нижче.

— Андраш Саламон

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Це презентація половини подвійності для оборотних перетворень, аналогічних стандартній подвійності клон - коклон (наприклад, тут ). Це не відповідає на питання, але показує, що всі закриті класи таких функцій визначаються збереженням властивостей певної форми.

На відміну від стандартного випадку, головне ускладнення полягає в тому, що перестановки можуть рахуватись (вони зберігають кардинальність), отже, їх інваріанти повинні залучати трохи арифметики для обліку цього.

Дозвольте розпочати з попередньої термінології. Закріпити кінцеве підставу безліч . (У класичному випадку, про який питає Скотт, . Частини дискусії також працюють для нескінченного , але не для основної характеристики.) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

Безліч перестановок (або: оборотні перетворення) є підмножиною , де позначає групу перестановок . Перестановка клон являє собою набір перестановки таким чином, що $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

Кожен закритий під композицію. $\cC\cap\sym(A^n)$

Для будь-якого перестановка визначена знаходиться в . $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

Якщо і , перестановка визначається знаходиться в . $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

Оскільки є кінцевим, 1 означає, що є підгрупою . ОП вимагає лише 2 для транспозиції , але версія тут явно рівнозначна. Умова 3 еквівалентна тому, що я назвав введенням фіктивних змінних у коментарі вище. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

Майстер клон є перестановкою клон з припуском ancillas:

Нехай , , такі, що для всіх . Тоді означає . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

Ми прагнемо охарактеризувати перестановку клонів і головних клонів певними інваріантами. Дозвольте спочатку мотивувати останній кількома прикладами на : $A=\{0,1\}$

Головний клон перестановок, що зберігає вагу Хеммінга (породжений воротами Фредкіна). Якщо позначає включення в , ці перестановки характеризуються властивістю де , і я записую . $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
Головний клон перестановок, що зберігає гаммінгський ваговий модуль з фіксованою , згаданий у коментарях. Це характеризується тією ж формулою, що і вище, якщо інтерпретувати як функцію від до циклічної групи і обчислити там суму. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
Головний клон афінних перестановок , , (породжений CNOT). Можна легко перевірити (або знає з випадку "Пост"), що функція з одним виведенням є афінною, якщо вона зберігає відношення . Таким чином, якщо визначимо по a знаходиться в клоні iff тому ми маємо справу з сумами в моноїді $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ .

Взагалі вагова функція - це відображення , де , а - комутативний моноїд. Функція майстер ваги є той , який відображає всі діагональні -граммам , , щоб оборотні елементи . Нехай позначає клас всіх вагових функцій, а - основну вагову функцію. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

Якщо , а - вагова функція, ми говоримо, що - інваріант , або (бездумно запозичуючи термінологію), що - поліморфізм і запишіть , якщо для всіх виконується наступна умова : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Якщо , то $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

Тут , і аналогічно для . Іншими словами, якщо (а точніше його паралельне розширення на ), зберігає суму ваг його аргументів. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

Відношення між і (або ) викликає зв'язок Галуа між наборами перестановок і класами вагових функцій звичайним чином: і, таким чином, подвійний ізоморфізм між повними гратами закритих наборів перестановок і закритими класами (головних) вагових функцій відповідно. Щоб побачити, що ми на правильному шляху, ми спостерігаємо, що закриті набори перестановок справді є клонами: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Лема: Якщо , то - клон перестановки. Якщо , то є головним клоном. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

Доведення: Перше твердження є більш-менш очевидним. По-друге, нехай , як в умові 4, щоб , і нехай буде таким, як у визначенні . Покладіть , і . Тоді означає Однак є зворотним у оскільки - це головна функція ваги, отже $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

Перш ніж ми продовжуємо далі, нам потрібно вирішити одну проблему: моноїди можуть бути величезними , отже, інваріантів цієї форми можна справедливо запідозрити у марних абстрактних дурницях.

По-перше, з урахуванням вагової функції , можна припустити, що породжується (і додатковою інверсією зображень діагональних елементів у головному випадку), як інші елементи не вводите малюнок. Зокрема, є звичайно породженим . По-друге, за загальними результатами з універсальної алгебри ми можемо записати як підкаталог продукт де кожен є підпорядкованим невідводимим, а - коефіцієнтом через й проекцію продукту $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; зокрема, це все ще кінцево породжений комутативний моноїд. В результаті Мальцева, fg, підпорядковано невідворотні комутативні моноїди (або напівгрупи), насправді є кінцевими . Відображення - це знову вагова функція, , якщо було, і легко побачити, що Таким чином, ми можемо без втрати загальності обмежити увагу на вагових функціях , де є кінцевим і підпорядкованим невідводимим. Нехай є класом таких вагових функцій, і покладемо

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ Прикладами кінцевих підпорядкованих невідворотних комутативних моноїдів є циклічні групи та усічені моноїди додавання . Загальний випадок є складнішим, проте все ж можна сказати багато про їх структуру: можна записати кожен певним чином як роз'єднане об'єднання , так і скінченна нільсемігрупа з деякими властивостями. Детальніше дивіться у Grillet .

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

Тепер ми готові до основної суті цієї публікації:

Теорема: Закриті набори перестановок у з’єднанні Галуа для кінцевих, непрямо зменшених (головних) вагових функцій є саме перемутаційними клонами (головними клонами, респ.).

Тобто, якщо , то клон перестановки, породжений є , а головний клон, сформований є . $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

Доведення: З огляду на попередню дискусію, досить показати, що якщо - клон перестановки, а , існує інваріант з таким, що , і можна взяти функцією головного ваги, якщо - головний клон. $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

Поставте , і нехай - вільний моноїд, породжений (тобто кінцеві слова над алфавітом ). Визначимо відношення на через (Слова неоднакової довжини ніколи не пов'язані з .) Оскільки кожен - це група, - це відношення еквівалентності (насправді, його обмеження до слів довжиною є лише відношенням еквівалентності орбіти діє очевидним чином $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ ). Більше того, - моноїдна збіжність: якщо і свідчать, що і , відповідно, то свідків .

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Таким чином, ми можемо утворити частковий моноїд . Перестановка підкачки свідчить про те, що для кожного ; тобто генератори рухаються, отже, є комутативним. Визначте вагову функцію як природне включення у складене з коефіцієнтом карти. $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

Неважко помітити, що : дійсно, якщо , а , то за визначенням (використовуючи позначення, як у визначенні ). З іншого боку, припустимо . Нехай - це перерахування , , і нехай для знову бути як у визначенні . Потім $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ звідси і за визначенням з , існує таке , що для кожного . Однак, оскільки вичерпує , це означає, що , тобто , суперечність. Це завершує доказ для клонів перестановки.

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

Навіть якщо майстра клон не обов'язково повинні бути функцією майстер ваги, насправді, діагональні елементи навіть не обов'язково скорочень в , отже , ми повинні це виправити. Для кожного , нехай , і визначимо нове ставлення еквівалентності на по Використовуючи той факт, що елементи комутують по модулю , легко показати, що - це знову збіжність, отже, ми можемо сформувати моноїд $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ , і функція ваги . Оскільки поширюється , є комутативним, а коефіцієнт ; зокрема, . З іншого боку, якщо , то той самий аргумент, як вище, разом із визначенням дав би , і такі, що для всіх , таким чином як - головний клон, протиріччя.

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

Визначення гарантує , що для всіх , і . Звідси випливає, що елементи є відмінні в . Легко відомий факт, що будь-який комутативний моноїд може бути вбудований в інший, де всі відмінні елементи стають зворотними. Склад такого вбудовування з є тоді основною ваговою функцією , а , отже . QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

EDIT: Узагальненість подвійності клон-коклон вище описана вище

[1] E. Jeřábek, Galois з'єднання для операцій з декількома виводами, препринт, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .

— Еміль Єржабек підтримує Моніку
джерело

Велике спасибі за зусилля, які потрібно було написати, щоб написати це! Знадобиться мені час, щоб перетравити це, оскільки мова клонів і універсальна алгебра для мене досить абстрактна (дійсно, це було каменем спотикання, коли я намагався прочитати цю літературу в минулому). Але ми конкретно розробляємо клони, корисно знати, що всі вони будуть характеризуватися інваріантами, як і всі приклади, про які ми знали. (До речі, побачити, скажімо, Фредкін + НЕ як характеризується інваріантом, я думаю, ми дивимося на пари входів і кажемо, що кожен перетворення зберігає суму їх паритетів?)

— Скотт Ааронсон

Тим часом я маю прогрес повідомити про конкретне питання. Мені вдалося класифікувати всі точки в решітці над воротами Фредкіна: єдині можливості - це перетворення, які зберігають моду Кеммінга для k для будь-якого k, перетворення, які або зберігають, або перевертають вагу Хеммінга мод 2 (генерований Фредкін + НЕ), і всі перетворення. Я також можу охарактеризувати всі точки в решітці над CNOTNOT: це лише ті, які я вказав в ОП (CNOTNOT + NOT, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT, все).

— Скотт Ааронсон

Так, для Фредкіна + НЕ, ми можемо взяти , . Дякую за оновлення, це звучить дуже добре.

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Звичайно, сподіваємось, що інваріантів на практиці набагато менше, ніж те, що випадає з доказів. (У випадку "Пост" я вважаю, що найгірше, що може статися, - це ) Зв'язок Галуа безпосередньо не допомагає конкретної класифікації, це скоріше методологічний інструмент. По-перше, може бути простіше знайти раніше неідентифіковані класи, якщо хтось знає, які саме властивості шукати. По-друге, типовий крок у підтвердженні класифікації Поста виглядає наступним чином. Ми потрапили до класу десь посеред решітки і хочемо описати класи над нею. ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

... визначається його інваріантними відношеннями . Тоді будь-яке правильне розширення повинно містити , яке не зберігає деякий , і зазвичай тоді можна маніпулювати за складом тощо в певну функцію в невеликій кількості змінних. Таким чином, ви отримуєте список таким, що кожен клас строго вище містить клас, сформований для деяких , і можна переходити до частини решітки вище, . Для цього не потрібно загального листування, але знаючи інваріантів конкретних класів, з якими стикається.

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку