Найбільш впливові результати Ліптона

Річард Дж. Ліптон був обраний переможцем премії " Кнут 2014" "За впровадження нових ідей та методик".

Які ваші думки є основними новими ідеями та прийомами, які розробляв Ліптон?

Примітка. Це питання стане вікі спільноти. Будь ласка, вкажіть одну таку ідею, техніку чи результат за кожну відповідь.

Планарная Сепаратор теорема стверджує , що в будь-якому плоскому -vertex граф існує безліч вершини, видалення листя граф від'єднаний, щонайменше , два компонентів приблизно збалансовано. Більше того, такий набір можна знайти в лінійному часі. Цей (жорсткий) результат, доведений Ліптоном та Таржаном (покращуючи попередній результат Унгаром), є потужним інструментом для проектування алгоритмів на плоских графіках. Це дає багато точних алгоритмів субекспоненціального часу для задач з важким рівнем NP та вдосконалені алгоритми наближення поліноміального часу. Перегляд сторінки вікіпедії дає гарне вихідне місце для вивчення численних програм. раннє обстеженняG O ( $n$$G$$O(\sqrt{n})$ з деталями ряду заявок написали Ліптон і Тарджан у 1980 році.

Теорема Карпа-Ліптона заявляє, що не може мати булінові схеми розміру поліномів, якщо поліноміальна ієрархія не руйнується до другого рівня.$\mathsf{NP}$

Два наслідки цієї теореми для теорії складності:

• ймовірно, не має булевих схем розміру поліномів; доведення нижчих меж розмірів схем є можливим підходом до поділу класів складності.$\mathsf{NP}$
• На цій теоремі базується декілька результатів, щоб довести розділення класів складності (наприклад, теорема Каннана).

Випадкова самовідновлення постійного . Ліптон показав, що якщо існує алгоритм, який правильно обчислює постійну частку всіх F n × n , де F - кінцеве поле розміром не менше 3 n , то цей алгоритм може бути використаний як чорний ящик для обчислення постійної будь-якої матриці з високою ймовірністю.$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

Основна ідея полягає в тому, що перманент є поліномом низького ступеня, тому його склад з однофакторною афінною функцією є одноманітним поліномом низького ступеня (в x ) і його можна дізнатися саме з невеликої кількості значень за допомогою інтерполяції . Ви можете обрати випадковий В, щоб композиція розподілялася як постійна випадкової матриці для будь-якого x . При х = 0 одновимірний поліном тільки перманент А . Докладні відомості можна знайти в главі 8 Арора Барак .$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

Цей алгебраїчний підхід був надзвичайно впливовим у теорії складності. Ідеї ​​Ліптона зрештою призвели до доведення теореми IP = PSPACE, доказу теореми PCP та до результатів локальних кодів виправлення помилок.

Я не на 100% впевнений, чи пояснення нижче є історично точним. Якщо це не так, будь ласка, не соромтесь редагувати чи видаляти.

Тестування на мутації винайшов Ліптон. Тестування на мутації може розглядатися як спосіб вимірювання якості та ефективності тестового набору. Ключова ідея - ввести несправності в тестувану програму (тобто мутувати програму), бажано види несправностей, які може створити людський програміст, і подивитися, чи тест-пакет знайде введені несправності. Типовим прикладом випробування мутації несправностей може бути заміна x> 0 на x <0, або заміна x на x + 1 або x-1. Частка несправностей, виявлених тестовим набором, - це "оцінка достатності мутації" тестового набору. Якщо говорити дуже вільно, можна вважати це методом Монте-Карло для обчислення оцінки адекватності мутацій.

Більш абстрактно можна сказати, що тестування на мутацію висуває на перший план симетрію чи подвійність між програмою та її тестовими наборами: не тільки тестовий набір може бути використаний для впевненості у правильності програми, але, навпаки, програма може бути використовується для отримання впевненості в якості тестового набору.

Зважаючи на цю подвійність, тестування на мутацію також концептуально близьке до введення несправності . Обидва технічно схожі, але мають різні цілі. Мутаційне тестування спрямоване на те, щоб виміряти якість тестового набору, тоді як введення несправності прагне встановити якість програми, як правило, якість її обробки помилок.

Останнім часом ідеї тестування на мутації використовувались для перевірки (формалізації) логічних теорій. Перефразовуючи конспект (4): Коли розробляються нетривіальні формалізації у доказів теореми, значна кількість часу приділяється «налагодженню» специфікацій та теорем. Як правило, під час невдалої спроби доведення виявляються невірні специфікації або теореми. Це дорога форма налагодження. Тому часто корисно перевірити домисли, перш ніж приступати до доказів. Можливий спосіб зробити це - призначити випадкові значення вільним змінним гіпотези, а потім оцінити їх. (4) використовує мутації для перевірки якості використовуваних генераторів тестових випадків.

Історія . З (1): Історія випробувань на мутації можна простежити до 1971 року в студентській роботі Річарда Ліптона. (2), а також Гамлет (3).

1. Репозиторій тестування мутацій: теорія тестування мутацій .

2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, Підказки щодо підбору тестових даних: Довідка для практикуючого програміста .

3. Р.Г. Гамлет, Тестування програм за допомогою компілятора .

4. С. Бергхофер, Т. Ніпков, Випадкові випробування в Ізабелі / HOL. .

Лемма Шварца - Зіппеля - ДеМілло-Ліптона - це основний інструмент арифметичної складності. В основному це говорить про те, що якщо ви хочете знати, чи арифметична схема являє собою нульовий многочлен, все, що вам потрібно, це оцінити схему на одному вході. Тоді ви отримаєте ненульове значення з хорошою ймовірністю, якщо схема не представляє нульовий многочлен.

Це особливо важлива лема, оскільки для цієї проблеми не відомо жодного детермінованого алгоритму поліноміального часу.

Лема зазвичай відома як лемма Шварца-Зіппеля . Історію цієї леми можна знайти у власному блозі Ліптона .

Здатність до покриття в системах векторного додавання є складною : у Р. Дж. Ліптона проблема доступності вимагає експоненціального простору , Доповідь досліджень 63, Єльський університет, 1976.

$d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$$v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$. У поєднанні з верхньою межею EXPSPACE, доведеною К. Раккоффом у 1978 році, результат Ліптона демонструє повноту для EXPSPACE.

$v_n=v$

Багатоскладні комунікаційні складності та модель "Число на чоло" були представлені Ашоком К. Чандрою , Мерріком Л. Ферстом та Річардом Дж. Ліптоном у багатопартійних протоколах , STOC 1983, дої : 10.1145 / 800061.808737 .

Багатопартійна модель є природним розширенням двопартійної моделі складності комунікацій Яо , де у кожної Аліси та Боба є половини вхідних бітів, що не перекриваються, і хочуть спілкуватися, щоб обчислити заздалегідь задану функцію всього входу. Однак, розширити розділ вхідних бітів на більшу кількість сторін часто не дуже цікаво (для нижчих меж зазвичай можна просто розглянути перші дві сторони).

$k$$k$$n$

$n$

$N$$k$$N$$k=3$$N$$O(\sqrt{\log N})$$N \le k(2^n-1)$$O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$