Графічний ізоморфізм із співвідношенням еквівалентності на множині вершин

Кольоровий графік можна описати як кортеж де - графік, а - забарвлення. Кажуть, що два кольорові графіки та є ізоморфними, якщо існує ізоморфізм таким чином, що забарвлення підкоряється, тобто для всіх .$(G,c)$$G$$c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$$(G,c)$$(H,d)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$c(v) = d(\pi(v))$$v \in V(G)$

Це поняття фіксує ізоморфізм кольорових графіків у дуже суворому розумінні. Розглянемо випадок, коли у вас є дві політичні карти одного регіону, але вони використовують різні кольорові набори. Якщо запитати, чи вони пофарбовані однаково, можна припустити, що це означає, чи існує бієктивне відображення між двома наборами кольорів таким чином, що кольори обох карт збігаються за допомогою цього відображення. Це поняття може бути оформлено шляхом опису кольорових графів , як кортеж , де є відношення еквівалентності на множині вершин . Тоді можна сказати, що два таких графіки і є ізоморфними, якщо існує ізоморфізм таким, що для всіх пар$(G,\sim)$$\sim$$G$$(G,\sim_1)$$(H,\sim_2)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$v_1,v_2 \in V(G)$ що

Моє запитання: чи вивчали цю концепцію раніше wrt, знаходячи канонічні форми тощо, і якщо так, під якою назвою вона відома?

Описана вами проблема, безумовно, була розглянута (я пам’ятаю, що це обговорювалося в школі, і в той час вона вже обговорювалася задовго до цього часу), хоча я не можу вказати на якісь конкретні посилання в літературі. Можливо тому, що він лінійно еквівалентний необарвленому ізоморфізму графа, як це відбувається (це справедливо навіть для канонічних форм). Назвіть проблему, яку ви описуєте EQ-GI.

GI - лише особливий випадок EQ-GI, коли кожен графік має лише один клас еквівалентності, що складається з усіх вершин.

В іншому напрямку, щоб звести EQ-GI до GI, нехай є графіком із співвідношенням еквівалентності з вершин, ребер та класів еквівалентності . Побудуйте графік , набір вершин якого складається з вершин разом з новими вершинами , по одній для кожного класу еквівалентності в , а також нових вершин . Підключіть до контуру , підключіть кожну до і для кожної вершини в$(G, \sim_G)$$n$$m$$c$$G'$$G$$v_1, \dotsc, v_c$$=_G$$n+c+1$$w_0, \dotsc, w_{n+c}$$w_i$$w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$$v_i$$w_0$$G$ , підключіть його до відповідного вершини класу еквівалентності . Тоді має максимум вершин і може бути побудований по суті однаково обмеженим часом. (Він також має максимум ребра - що є для підключених графіків - але це дещо менше актуально, оскільки більшість алгоритмів GI мають час роботи, який по суті залежить лише від .)$v_i$$G'$$n + 2c + n +1 \leq O(n)$$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$$O(m)$$n$

Оновлення : Оскільки в коментарях була певна плутанина, я додаю сюди ескіз правильності наведеного аргументу. Враховуючи та , нехай та є графіками, побудованими як вище; нехай позначає вершину зверху в , а - в , і аналогічно і . Якщо є ізоморфізм , він повинен надіслати до для всіх$(G_1, \sim_1)$$(G_2, \sim_2)$$G_1'$$G_2'$$v_{i,1}$$v_i$$G_1'$$v_{i,2}$$G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$G_1' \cong G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$i$, оскільки в кожному графі є унікальна вершина, яка є кінцевою точкою будь-якого шляху довжиною щонайменше . Зокрема, відображає . Оскільки сусіди , які не є саме , ізоморфізм повинен відобразити множину на множину (і зокрема і повинні мати однакове число, , класів еквівалентності). Зауважте, що ізоморфізм не повинен надсилати до для всіх$w_{n+c}$$n+c+1$$w_{0,1}$$w_{0,2}$$w_0$$w_1$$v_i$$\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$$\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$$\sim_1$$\sim_2$$c$$v_{i,1}$$v_{i,2}$$i$ , але дозволяється переставляти індекси 's до тих пір, поки відповідні класи еквівалентності можуть бути зіставлені один з одним. І навпаки, виходячи з цього опису того, як можуть виглядати ізоморфізми між та , легко зрозуміти, що якщо то це дає ізоморфізм .$v$$G_1'$$G_2'$$(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$$G_1' \cong G_2'$

Я прочитав ваш останній коментар у правильній відповіді Джошуа; якщо вам потрібно перетворити EQ-GI в кольоровий GI (тобто у вас виникають проблеми з кольорами, призначеними для класів еквівалентності), ви можете скористатися наступним скороченням:

Припустимо, що початковими графами є , і є класи еквівалентності; тоді ви можете додати до кожного графа "перестановник", тобто повний графік на вузлах ( , ) і використовуйте кольори .$G_1 = (V_1, E_1)$$G_2 = (V_2, E_2)$$q$$|V_1|+1=|V_2|+1$$K'_{|V_1|+1}$$K''_{|V_2|+1}$$q+1$$c_1,...,c_q,c_{q+1}$

В обох і , вузли відрізняються і кольорові з інші вузли пофарбовані . Вузли забарвлені кольором а вузли того ж класу еквівалентності пов'язані з відповідним кольором у ; вузли забарвлені кольором а вузли того ж класу еквівалентності пов'язані з відповідним кольором у .$K'$$K''$$q$$c_1,...,c_q$$c_{q+1}$$G_1$$c_{q+1}$$K'$$G_2$$q+1$$K''$

Також зауважте, що ви можете скинути кольори та отримати еквівалентний GI-примірник :-)

Зменшення відповідає прикладу у вашому коментарі