Проблема членства для певного класу необмежених граматик

Розглянемо довільну без контексту граматику $G$ над алфавітом $\lbrace 0,1,\overline{0} ,\overline{1} \rbrace$. До постановок цієї граматики додайте дві фіксовані безконтекстні постановки$P$: $\overline{0} 0 \rightarrow \epsilon$ і $\overline{1} 1 \rightarrow \epsilon$. Назвіть отриману граматику$G^P$ стоячи за "$G$ доповнені з постановками $P$".

Чи можна дати алгоритм, який займає граматику $G^P$ і рядок $s$ над $\lbrace 0,1,\overline{0} ,\overline{1} \rbrace$ і вирішує, чи $s \in \mathcal{L}(G^ P)$?

Цей клас граматик не можна визначити. Ось приблизна ідея про те, як використовувати його для емуляції машин Тьюрінга.

У кожній точці виглядало б поточне частково розширене слово

Тут:

• $[\mbox{tape to the left}]$, після застосування $P$, містить лише символи $\overline0$ і $\overline1$.
• $[\mbox{tape to the right}]$, після застосування $P$, містить лише символи $0$ і $1$.
• $[\mbox{head}]$ це єдиний нетермінальний, який кодує як стан голови, так і персонаж у положенні голови.

Припустимо, що глава знаходиться в стані $S$, а персонаж під головою є $i\in\{0,1\}$. Тоді голова представлена ​​нетермінальною$S_i$. Якщо це потрібно для переходу до державного$T$, замініть поточний символ на $j$, і рухайтеся ліворуч, є два переходи $S_i\rightarrow0T_0j$ і $S_i\rightarrow1T_1j$. Якщо замість цього потрібно рухатись праворуч, є два переходи$S_i\rightarrow\overline jT_0\overline0$ і $S_i\rightarrow\overline jT_1\overline 1$. У якомусь сенсі голові доводиться «вгадувати» персонажа в напрямку, в якому він рухається, виробляючи відповідний символ. Якщо здогад невірний, інваріант о$[\mbox{tape to the left}]$ або $[\mbox{tape to the right}]$ було б порушено, і воно ніколи не відновиться.

Коли машина зупиняється, голова повинна "споживати" свою стрічку з обох сторін, "вгадуючи" та видаючи відповідні символи. Після цього воно повинно видавати порожнє слово. В результаті порожнє слово буде членом такої граматики, якщо і лише тоді, коли відповідна машина Тьюрінга зупиниться.