Оптимальне рандомізоване сортування порівняння

Отже, ми всі знаємо нижню межу дерева порівняння про найгірші випадки порівнянь, проведених алгоритмом сортування (детермінованого) порівняння. Він не застосовується до рандомізованого сортування порівняння (якщо ми вимірюємо очікувані порівняння для найгіршого випадку). Наприклад, для детермінована нижня межа - п’ять порівнянь, але рандомізований алгоритм (випадковим чином переставляє вхід і потім застосовує сортування злиття) робить краще, маючи $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ порівняння в очікуванні для всіх вхідних даних. $4\frac{2}{3}$

пов'язана без стель все ще застосовується у рандомізованому випадку інформаційно-теоретичним аргументом, і її можна трохи затягнути до $\log_2 n!$ Це випливає, тому що існує оптимальний алгоритм, який випадковим чином перетворює вхід, а потім застосовує (детерміноване) дерево рішень, а найкраще дерево рішень (якщо воно існує) - це таке, у якому всі листи знаходяться на двох рівнях поспіль.

k + \frac{2 (n! - 2^{k})}{n!}, where k = ⌊ \log_{2} n! ⌋ .

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$

Що робити, якщо що-небудь відомо про верхні межі цієї проблеми? Для всіх рандомізоване число порівнянь (у очікуванні, для гіршого випадку, для найкращого можливого алгоритму) завжди суворо краще, ніж найкращий детермінований алгоритм (по суті, тому що Ніколи не є силою двох) . Але наскільки краще? $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— Девід Еппштейн
джерело

l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

Оскільки ваше запитання: "Що відомо?" Ось щось:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$ $c$

— Пат Морін
джерело

n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

Я не експерт, і єдина причина, про яку я знаю, це Джон Іаконо. Я думаю, що це має відношення до коливань, виходячи з того, наскільки n до (в 4/3 рази) потужності 2. Якщо ви подивитесь на аналіз тут, посилання link.springer.com/content/pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf , пов'язана -1.415n, здається, має місце лише тоді, коли n = підлога ((4/3) 2 ^ k) для деякого цілого k. Можливо, -1,329n, пов'язане в Knuth, є найкращим, що відповідає всім російським?

— Пат Морін

Однозначно коливання є, але я подумав (4/3) 2 ^ k - це найгірший випадок, і це було краще для інших випадків.

— Девід Еппштейн