Розслаблення

У мене є питання техніко-економічного обґрунтування, яке можна поставити так. Мені надається точка у розмірному векторному просторі, і я хочу знайти найближчу точку до яка задовольняє набір форми " обмежень" $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

З огляду на множину , максимум один із може бути ненульовим. $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

Поняття близькості змінюється, але наразі достатньо припустити зручну відстань, як . $\ell_2^2$

Чи є відомі розслаблення до лінійних обмежень, які є "хорошими" в сенсі надання "достатньо близького" політопа для апроксимації вихідних обмежень, де я також досить гнучка щодо визначення "досить близького"

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

— Суреш Венкат
джерело

Чи дозволяють обмеження нелінійно залежати від

p

$p$

— Воррен Шуді

Чи можете ви детальніше розглянути, який саме політоп ви шукаєте? Опуклий корпус можливих точок

точок з щонайбільше однією ненульовою координатою дорівнює

, тому сподівання на хороше багатогранне наближення множини можливих точок

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— Воррен Шуді

Якщо

є постійним відомо заздалегідь , то для будь-якої константи відстані

можна легко обчислити можливі точки , які знаходяться в межах

про

( якщо дивитися на тільки одного обмеження). Для деяких метрик можливими моментами буде об'єднання політопів; для інших, можливо, доведеться наблизити їх до таких або використати оракул розділення. Потім запишіть лінійні обмеження, що кодують, що

знаходиться в межах опуклого корпусу.

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— Воррен Шуді

@warren: обмеження лінійно залежать від p, але сам p не є постійною (скоріше, це вхід до проблеми). Обмеження є вищевказаним видом або є лінійними обмеженнями на q_i.

— Суреш Венкат

Я не впевнений, чи правильно я розумію проблему, але, як написано, проблема, мабуть, передбачає кілька спрощень, і, зокрема, проблема у випадку ℓ ₂² еквівалентна кришці вершин мінімальної ваги, якщо я не помиляюся.

Без втрати загальності можна вважати, що | S | = 2 у кожному обмеженні, оскільки обмеження з | S |> 2 еквівалентно безлічі обмежень , де S пробігає всі пари елементів вихідного безлічі S . Тому обмеження ℓ ₀ можна візуалізувати як графік G з d вершинами. Використання графа G , обмеження можуть бути перераховані наступним чином : безліч вершин , що відповідають координатам я з д _я = 0 повинна бути вершиною кришкою G .
$q_{i}^{'} = {\begin{cases} p_{i}, & q_{i} \neq 0, \\ 0, & q_{i} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$ . Зокрема, якщо відстань є сумою координатної відстані (як у випадку відстані ℓ ₂² ), проблема точно така ж, як і покриття вершини мінімальної ваги.

Що стосується розслаблення LP проблемою покриття вершин, швидкий пошук призводить, наприклад, до конспекту лекцій (Лекція 9) Уріеля Фейге .

— Цуйосі Іто
джерело

Досить цікаво. Мені подобається спостереження про | S | не потрібно більше 2

— Суреш Венкат

Є одна річ, яка не дуже працює. Змінні загалом можуть бути довільними (не між нулем і одиницею). Таким чином, ви не можете дійсно кодувати обмеження LP для "змінні, встановлені на нуль, повинні утворювати вершину обкладинки". Це стає проблемою (яку я повинен був згадати), оскільки існують інші (лінійні) обмеження щодо координат, які також повинні бути включені.

— Суреш Венкат

@Suresh: Якщо ти справді думаєш, що ти це згадав, завжди можеш змінити питання.

— Цуйосі Іто

@Suresh: Я мав на увазі сказати: "Якщо ти справді думаєш, що ти повинен був це згадати ..."

— Tsuyoshi Ito