Де досліджена реляційна параметричність у моделях гіпердоктрини чи топосу?

Спочатку Рейнольдс запропонував реляційну семантику для поліморфного обчислення лямбда другого порядку [1]. Однак пізніше він показав [2], що такий підхід суперечить класичній теорії множин. Піттс описав рамки гіпердоктринних моделей і топосних моделей [3], які відповідають конструктивній логіці.

Імовірно, тоді були розроблені реляційні моделі гіпердоктрини та топосу. Де я можу прочитати про них?

• [1] Типи, абстракція та параметричний поліморфізм
• [2] Поліморфізм не є теоретично заданим
• [3] Поліморфізм заданий теоретично, конструктивно

• З технічних причин не було багато роботи над параметричними топосними моделями. Внутрішня логіка топосу - це форма теорії множин, а непередбачуване індексативне індексування та стиль аксіоми в стилі F є несумісними. Дивіться нетривіальні типи енергії Енді Пітса, які не можуть бути підтипами поліморфних типів :

  Ця стаття встановлює нове обмежувальне співвідношення між поліморфним обчисленням лямбда та видом теорії типу вищого порядку, яка втілена в логіці топосів. Показано, що будь-яке вбудовування в топос декартової закритої категорії (закритих) типів моделі поліморфного обчислення лямбда повинно розміщувати поліморфні типи далеко від силових типів (P (X)) топосу, в сенсі що P (X) є підтипом поліморфного типу лише у випадку, коли X порожній (а значить, P (X) є термінальним). Як наслідок, ми отримуємо посилення результату Рейнольдса на відсутності множинно-теоретичних моделей поліморфізму.

  Як результат, навіть якщо ви можете дати всесвіту інтерпретацію типів F в логіку топосу, ви не можете дозволити їй взаємодіяти цікавими способами з повним всесвітом множин. Однак все не втрачено!

  1. Той факт, що (непараметрична) Всесвіт множин, що інтерпретують Систему F, означає, що ви можете дати параметричну модель системи F у внутрішній логіці топосу, набагато простіше, ніж ви можете у звичайній теорії множин. По суті, вам не доведеться спілкуватися з PER, оскільки ви можете просто припустити, що у вас є відповідна колекція наборів. Боб Еткі використав цю ідею у своїй роботі " Реляційна параметричність для вищих видів" , де він розробив параметричність для$F_\omega$ працюючи в непередбачуваному обчисленні конструкцій.

  2. Ще одна реакція на результат Піттса - це не робота з теорією множин, а теорією залежного типу. Оскільки в теорії залежного типу не існує типу енергії, вам не потрібно турбуватися про взаємодію типів енергії та поліморфізм. Дивіться Аткі, Гані та Йогана " Реляційно параметрична модель теорії залежного типу" .

• Однак немає таких перешкод для створення моделей гіпердоктрини, де умови системи F є об'єктами логіки. Дослідження за цими напрямками, ймовірно, були ініційовані Абаді та Плоткіним у своїй напівальній роботі «Логіка параметричного поліморфізму» . Ларс Біркедал та його співробітники наполегливо працювали над формулюванням категоріальних моделей для цієї та подібних логік --- див. Зокрема Теоретичні моделі Біркедаля, Мегельберга та Петерсена лінійної Абаді та Лоткі Плоткіна , що дає логіку для міркування щодо лінійної системи F , плюс доказ того, що вона є надійною та повною щодо певного класу категоріальних моделей.