Довготривалі суперечності, пізніше тривіально доведені імплікацією

Мені хотілося б знати, чи існували думки, які давно були недоведеними в TCS, які згодом були доведені наслідками іншої теореми, що, можливо, було легше довести.

Ердес і Поса довели, що для будь-якого цілого і будь-якого графа G або G має k непересічні цикли, або існує набір розмірів у більшості f ( k ) вершин S ∈ G таких, що G ∖ S є лісом. (у їхньому доказі f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k ) ).$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

Властивість Ердеса і Поси фіксованого графіка відома як таке (не формальне визначення):$H$

Клас графіків допускає властивість Ердеса-Поса, якщо є функція f така, що для кожного графа H ∈ C, для будь-якого k ∈ Z і для будь-якого графіка G або k є неперервна ізоморфна копія (wrt minor або підрозділ) H в G або є набір вершин S ∈ G , таких, що | S | ≤ F ( K ) і G ∖ S не має изоморфную копію H .$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Після Ердеша Пози в результаті для одного класу циклів , які допускають це властивість, це був відкритим питання , щоб знайти правильний клас . У графі мінор V було доведено, що кожен плоский графік або має обмежену ширину дерева, або містить велику сітку як другорядну, маючи в руці теорему сітки, вони показали, що властивість Ердоса і Поси має (для другорядних) тоді і лише тоді, коли C - a клас плоских графіків. Однак проблема все ще відкрита для підрозділів. Але доказ теореми wrt minor є якось простим, і, наскільки мені відомо, немає доказів без використання сітки теореми.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Останні результати для диграфів дають відповіді на давно відкриті питання в аналогічній області для диграфів. Наприклад, одне дуже основне питання полягало в тому, що існує функція така, що для будь-якого графа G і цілих чисел k , l ми можемо знайти безліч вершин S ⊆ V ( G ), що мають максимум f ( k + l ), таких, що G - S не має циклу довжини щонайменше l або є k непереривних циклів довжини принаймні l в $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$. Це лише окремий випадок, але для він був відомим як здогадка Юнга. До цього здогадки Юнґера були доведені Рідом та ін. З досить складним підходом.$l=2$

Варто зазначити, що все ж є деякі досить нетривіальні випадки в диграфах. наприклад, теорема 5.6 у наведеному вище документі - це лише позитивне розширення здогадок молодшого віку до малого класу слабко пов'язаних диграфів, але, маючи знання та математичні інструменти, які ми маємо, це не тривіально (або, можливо, ми не знаємо простий аргумент для цього ). Можливо, забезпечивши кращу характеристику для цих графіків, буде більш простий спосіб довести це.

Заголовок питання стосується "тривіальних наслідків", але вміст не точно визначає ці критерії, тому це трохи змішане повідомлення. один напіввідомий предмет / приклад, що наближається до загальної теми, є доказом (тоді ~ 4 десятиліття) сильної ідеальної конфігурації графікау 2002 році Марія Чудновський, Ніл Робертсон, Пол Сеймур та Робін Томас. проблема алгоритмічної складності розпізнавання досконалих графіків виявилася тісно прив'язаною / тісно до доказової механіки сильної досконалої гіпотези гіпотези, хоча це було не зовсім добре зрозуміло і не було відомо до доведення гіпотези. Іншими словами, існувала неофіційна відкрита гіпотеза, що «ідеальне розпізнавання графіка знаходиться в Р» (або «низька складність» тощо) порівняно швидко вирішується, спираючись на аналіз / властивості / механіку сильної ідеальної теореми графа.

Поліноміальний алгоритм розпізнавання досконалих графіків Жерар Корнуежольс, Сіньмін Лю, Крістіна Вушкович 2003