-повна задача з квазіполіномом, пов'язаним на кількість розв’язків

FewP - клас $NP$ -проблем з поліномом, пов'язаним кількістю рішень (у вхідному розмірі). Там немає ніякого відомого $NP$ -повний проблеми в $fewP$ . Мене цікавить, як далеко ми можемо розтягнути це спостереження.

Чи існує якась природна $NP$ -повна проблема з квазіполіноміальною верхньою кількістю рішень (свідків)? Чи існує загальновизнана думка, яка б виключала таку можливість?

Природно означає, що проблема не є штучно складеною проблемою, щоб відповісти на питання (або подібні), і люди цікавляться проблемою самостійно (як визначено Каве).

EDIT: Баунті буде присвоєно таку природну $NP$ -повну проблему або розумний аргумент, що виключає існування таких проблем (використовуючи широко прийняті теоретичні гіпотези щодо складності).

Мотивація: Моя інтуїція полягає в тому, що $NP$ незавершеність накладає суперполіноміальну (або навіть експоненціальну) нижню межу кількості свідків.

cc.complexity-theory np

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Проблема з обіцянками UniqueSAT полягає в

(не те саме, що

), що є підмножиною

(не такою ж, як

) .

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$

U P

$\mathsf{UP}$

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$

F e w P

$\mathsf{FewP}$

— Джошуа Грохов

Чи відповіла б накладка SAT на ваше запитання?

— Каве

У цьому вся суть - це не так; розмір вводу - це кількість бітів на вході, а (рідкісні) 3-sat екземпляри мають розмір

. Кількість змінних - це лише один аспект (параметр) вхідних даних, тому для інших проблем (скажімо, проблеми з графіком) потрібно було б вказати, за якими показниками вимірюється кількість свідків. Наприклад, для максимального розрізу вхідний графік може мати

ребер, і знову є лише

свідків (що є субекспоненціальним у розмірі введення ). Але ми дуже хочемо виміряти з точки зору

. Однак не очевидно, що #vertices є правильним заходом.

m \log n

$m \log n$

n^{2}

$n^2$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— Даніелло

@Kaveh Так, так що ви повинні припустити, що Мухаммед подумав про те, що має сенс у його питанні. Також, як бачите, складність зоопарку погоджується з моїм визначенням. Загалом, у будь-якому цікавому класі складності визначення не повинно змінюватися, якщо ви вкладаєте поліном на вхід.

— domotorp

@downvoters Чому, чорт, люди, які заперечують це питання? Я маю на увазі, що хоча б хтось міг би дати причину для цього ...

— domotorp

Це дуже цікаве питання.

Спочатку уточнююче зауваження. Зауважте, що "верхня межа кількості свідків" не є властивістю обчислювальної проблеми як такої, а певного верифікатора, який використовується для вирішення задачі , подібно до того, як "верхня межа кількості станів" не була б властивість проблеми, але машина Тюрінга, що вирішує її. Таким чином, сказати " проблема з верхньою межею щодо кількості рішень" не зовсім точна, і якщо то кожна проблема має верифікатор з будь-якою кількістю бажаних рішень (включаючи нуль, включаючи всі можливі рядки) . $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

Отже, ми повинні зробити визначення, щоб вирішити ваше питання. Для , скажімо , Проблеми «має в більшості рішення» , якщо для деякої константи є Час верифікаторів такими , що для кожної довжини входу і кожен довжиною , є різні $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ довжини такою, щоприймає всі, авідкидає всі іншідовжини . $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

Я думаю, що зараз можу сказати:

Кожна -повна проблема, яку я знаю (визначена певним природним верифікатором), має очевидну відповідну версію підрахунку -комплект (з тим самим верифікатором). $NP$ $\#P$
Для будь-якої -повної проблеми, визначеної верифікатором, що має щонайбільше рішень (або навіть рішення), відповідна версія рахунку, ймовірно, не є -повною. $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

Детальніше: Припустимо, є -комплектним, з верифікатором що має щонайбільше рішень. Тоді натуральний підрахунок "рішення" версія , яку ми визначаємо як $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

обчислимо в , тобто, функція поліноміальних по з запитів до . Це тому , що вирішити , є чи число рішень не більш знаходиться в : свідок, якщо він існує, це просто число «s робить прийняти, що ми знаємо , що в більшості $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ . Тоді ми можемо бінарний пошук , використовуючи цю завдання обчислити точне число рішень . $NP$ $L$

Таким чином, -повна задача такого роду не може бути поширена на -повне завдання звичайним способом, якщо тільки . Це виглядає малоймовірним; вся ієрархія часу поліномів в основному руйнується до . $NP$ $\#P$ $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ $P^{NP[O(\log n)]}$

Якщо припустити, що у вищесказаному, ви все одно отримаєте малоймовірний наслідок. Ви б показали, що можна обчислити за час за допомогою oracle. Це більш ніж достатньо, щоб довести, наприклад, що і згодом $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ $\#P$ $2^{n^{o(1)}}$ $NP$ $EXP^{NP} \neq PP$ $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ . Не те, що ці розділення є малоймовірними, але, мабуть, малоймовірно, що це було б доведено, надаючи алгоритм -oracle для підсумкового часу для підсумкового часу . $NP$

До речі, я тут нічого занадто проникливого не сказав. В літературі майже напевно є такий аргумент.

— Райан Вільямс
джерело

Дійсно, це прониклива відповідь.

— Мохаммед Аль-Туркстані