Шукаєте джерело літератури для наступної ідеї

Я цілком впевнений, що я не вперше розважаюсь над ідеєю, яку я збираюся представити. Однак було б корисно, якщо мені вдасться знайти будь-яку літературу, пов’язану з ідеєю.

Ідея полягає в тому, щоб побудувати машину Тьюрінга M з властивістю, що якщо P = NP, то M буде вирішувати 3-SAT в поліноміальний час. (Вибір 3-SAT є довільним. Це може бути справді будь-яка проблема в NP).

Щоб було зрозуміло, це не твердження, що P = NP. Насправді я вважаю протилежне. Я просто констатую, що якщо P = NP, то M забезпечить поліноміально-часове рішення. Якщо ви шукаєте ефективне рішення, я повинен попередити, що це далеко не ефективно.

M побудований так: спочатку припустимо канонічне кодування для всіх машин Тьюрінга і застосуйте нумерацію до цих машин. Отже, існує машина Тьюрінга №1, номер 2 і т. Д. Ідея універсальної машини Тьюрінга, яка може прочитати формат для наданої машини, а потім змоделювати цю машину на окремому вході, досить добре відома. Компанія M використовуватиме універсальну машину Тьюрінга для створення та моделювання кожної машини Тьюрінга по черзі.

Він спочатку імітує роботу машини Тьюрінга 1 для одного кроку.
Потім він розглядає вихід машини Тюрінга 1.
Він моделює роботу машини Тьюрінга 1 на два етапи і дивиться на вихід, після чого переходить до імітації машини Тьюрінга 2 протягом 2 кроків. Він продовжується і циклічно працює, у свою чергу працює машина Turing 1 для k кроків, потім 2 для k кроків ... потім, зрештою, машина k для k кроків.

Після кожного запуску імітації він вивчає вихід ходу. Якщо вихід є призначенням змінних, що задовольняють екземпляр проблеми 3-SAT, M зупиняється у стані прийняття. Якщо, з іншого боку, висновок є рядком-коректором на деякій мові підтвердження з підтвердженим результатом того, що проблемний екземпляр не задовольняється, M зупиняється в стані відхилення. (Для мови коректури ми могли б, наприклад, використати аксіоми Пеано з логікою другого порядку та основними логічними аксіомами стилю Гільберта. Я залишаю це читачеві як вправу зрозуміти, що якщо P = NP, дійсна мова-доказ існує і перевірена поліноміально-часом).

Я тут стверджу, що M розв’яже 3-SAT в поліноміальний час тоді і тільки тоді, коли P = NP. Врешті-решт, алгоритм знайде якусь магічну машину Тьюрінга з номером K, яка просто так є ефективним рішенням для проблеми 3-SAT і здатна надати доказ її результатів як для успіху, так і для невдачі. Зрештою, K будемодельовано виконанням кроків poly (strlen (input)) для деякого многочлена. Поліном для M - це приблизно квадрат многочлена для k в найбільшому множнику, але з деякими жахливими константами в многочлени.

Щоб повторити тут своє запитання: я хочу знати, чи є джерело літератури, яке використовує цю ідею. Мені дещо менш цікаво обговорювати саму ідею.

Здається, що ця ідея приписується Левіну (Це називається оптимальним пошуком). Я вважаю, цей факт добре відомий. Аналогічний алгоритм описаний, наприклад, у вікіпедії , хоча використовує задачу про підмножину. У цій статті зі вченої програми ви можете знайти кілька посилань на цю тему, включаючи вказівник на початковий алгоритм та деякі інші оптимальні алгоритми пошуку.

$\varphi$$P=NP$$\varphi$

Коментар 2: Як зазначив Ярослав Бласіок в іншій відповіді, цей алгоритм не вирішує Sat лише припускаючи P = NP.

Ідея діагонально запустити всі можливі машини Тьюрінга раніше використовувалась Леонідом Левіним у тому, що зараз відоме під назвою Levins Universal Search. На жаль, і всупереч надзвичайно поширеному оману, оскільки, наскільки я знаю, варіації універсального пошуку Левіна НЕ здатні забезпечити явний алгоритм розв’язання SAT (завдання рішення) у поліноміальний час, виходячи виключно з припущення, що P = NP - і ні ваш алгоритм не робить .

Застереження пропонованих міркувань лежить (як це дуже часто) у "легкій вправі, залишеній читачеві" - я не зміг довести вправу сам і не вірю, що його твердження вірно, а саме:

Припустимо, що P = NP, є величина ZFC полінома, що підтверджує незадовільність заданої булевої формули.

Більше того: я не бачу, як довести існування поліноміально коротких доказів ZFC для незадовільності при (сильнішому) припущенні, що "P = NP є доказовим у ZFC". Однак це стає простим при ще більш сильному припущенні, а саме:

(*) Існує машина M, що працює в поліноміальний час, яка доказово вирішує SAT.

І це, я вірю, правильне припущення, згідно з яким ваш алгоритм вирішує SAT в поліноміальний час. Вище під "доказово вирішує SAT" я маю на увазі: існує машина M і доказ ZFC, що M вирішує SAT.

Зауважимо, що це припущення все-таки трохи слабше, ніж наступне: (**) Існує машина M, яка доказово працює в поліноміальний час і доказово вирішує SAT.

У розділі (**) може бути явна побудова досягнення тієї самої мети, що ще простіше: перерахуйте всі докази ZFC, поки ви не знайдете правильну машину M (витрачаючи постійний час), а потім запустіть M у заданому екземплярі.

Однак правда, що при припущенні P = NP існує певна поліноміально перевірена система доказів з короткими доказами незадовільності заданої формули. На жаль, ми не знаємо ні доказової системи, ні верифікатора назовні, і це не допомагає в цьому налаштуванні.

$f^{-1}(x)$

Зауважте, що ця схема застосовується, наприклад, до проблеми ФАКТОРИНГ; тут f - просто множення (визначається лише для інших факторів, ніж \ pm 1), а B - перевірка первинності. Отже, універсальний пошук Левіна був би (до постійного чинника) оптимальним алгоритмом ФАКТОРИНГУ. Враховуючи, що оптимальний алгоритм повільніше, ніж відомий алгоритм перевірки первинності - в іншому випадку перевірка первинності стає домінуючою.

$NP\cap co-NP$