Мінімальна специфікація теорії типу Мартіна-Лефа

Я читаю офіційну презентацію теорії типу Мартіна-Лефса (додаток до книги HoTT ). Автори вводять ієрархію всесвітів, тоді а також -типи , а також натуральні числа (індуктивно через і ). Врешті-решт вони також додають більш високі індуктивні типи. $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$ $W$ $\mathbb N$ $0$ $succ$

Але тоді мені цікаво, чому потрібно робити в специфікації теорії. Чи не достатньо і та алгебраїчних типів даних, втілених -типами, для їх налаштування? Наприклад, з початковим підходом до алгебри . (Або принаймні після того, як ми перейдемо від MLTT до HoTT мають індуктивні типи - зрештою, цілі числа виникають як гомотопічна група кола типу у межах теорії.) $\mathbb N$ ${\bf 1}$ $+$ $W$ $\mathbb Z$ $\mathbb S$

Або це пов’язано з нашою потребою мати примітивну рекурсію з самого початку, яка визначена прямо поруч із у презентації? Це ідея, яку я маю, тому що я не зовсім знаю, як "визначення визначено" в тій рамці, або як формально працює мова, формально. Я можу додати, що я визнаю, що принаймні неофіційне поняття чисел і "більших" використовується вже тоді, коли визначена ієрархія всесвітів. $\mathbb N$

У випадку, якщо можна пошкодити а специфікація просто не мінімальна, чи є інші елементи, які, в принципі, можна відмовити? Наприклад, я міг уявити а потім випливає з якоїсь комбінації , але мені це не вдалося зробити. $\mathbb N$ $\bf 2$ $+$ $\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

type-theory

— Микола-К
джерело

Мета системи, описаної в додатку до книги HoTT, - представити щось, що відповідає тому, що використовується книгою. Книга має на меті бути навчальною. Тому було б погано ідею робити все мінімалістично. Наприклад, ми вводимо окремо, оскільки вказувати, як працюють індуктивні конструкції у звичному випадку. $\mathbb{N}$

Ви абсолютно правильні, щоб перейти на індуктивні типи із загальних типів вам знадобиться лише і . Ви одразу отримуєте як , і отримуєте від і . Після цього ви отримуєте всі кінцеві суми . На цьому етапі легко зробити звичайні алгебраїчні типи даних. $W$ $0$ $2$ $1$ $0 \to 0$ $+$ $2$ $\Sigma$ $1 + 1 + \cdots + 1$

Якщо ви скинете , значить, ви почнете з , , і , ви не зможете отримати назад, тому що кожен тип, який ви робите, буде заселений. $0$ $\Pi$ $\Sigma$ $1$ $2$ $0$

Припустимо, у вас є лише , , і . Тоді ви не можете зробити тому що ви можете показати, що кожна конструкція, яку ви робите, дає вам значення або . Насправді взагалі не можна створювати цікавих залежних сімей. Більш велике сімейство типів, яке закрите під , , і , але не містить є типом -позицій (пропозицій). $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $0$ $1$ $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $(-1)$

— Андрій Бауер
джерело

1 \equiv (0 \to 0)

${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$

(λ x . x) : (0 \to 0)

$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$

Π

$\Pi$

λ x . x

$\lambda x.x$

W

$W$

0

${\bf 0}$

1 =_{U} 2

${\bf 1}=_U{\bf 2}$

0

$0$

1 =_{U} 2

$1 =_U 2$

U

$U$

0

$0$

0

$0$

Π

$\Pi$

Σ

$\Sigma$

1

$1$

2

$2$

0

$0$

Π

$\Pi$