Чи існує кінцевий набір унітарних воріт, який може точно реалізувати всі QFT порядку

Я розглядаю ідеї щодо точних квантових алгоритмів. Зокрема, я розглядаю ймовірні обмеження , яке складається з мов, які точно визначаються сімействами квантових ланцюгів, однорідними за часом, за довільним набором кінцевих воріт. $\mathsf{EQP}$

перетворення Фур'є (QFT), задане - відома частина квантової теорії обчислень. У випадку добре відоме розкладання на ворота , SWAP,

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{С Z}_{2^{Т}} = г i а г (1, 1, 1, е^{2 π i / 2^{Т}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$ , що пояснюється Копперсмітом. Якщо

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ містить якісь проблеми, можна сподіватися, що одна з них використає QFT

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ , і в цьому випадку потрібно буде сімейство операцій

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ розкласти на якийсь певний набір кінцевих воріт. Використовуючи рекурсивну декомпозицію QFT, це рівнозначно декомпозиції всіх воріт

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$ в єдиний набір кінцевих воріт.

Очевидно, що за теоремою Соловая-Кітаєва ми можемо довільно наблизити ворота $F_{2^n}$ або $\mathrm{CZ}_{2^n}$ з будь-яким приблизно універсальним набором воріт, який закритий під обертами. Мені хотілося б знати, чи існує кінцевий набір воріт, який може точно реалізувати ці сімейства операторів - або, на що я підозрюю, є більш вірогідним, чи є докази того, що такого кінцевого набору воріт не існує.

Питання. Чи є або декомпозиція $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$ як сімейство багатопотокових однорідних схем на кінцевому наборі воріт, або доказ того, що це неможливо?

quantum-computing circuit-families

— Ніль де Бодорап
джерело

Ні, немає декомпозиції всієї родини в єдиний кінцевий набір воріт. Ось чому. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFT включають лише коефіцієнти, що перевищують , складне алгебраїчне закриття раціональних чисел. Аналогічно до [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ], якщо ми задіяли будь-які ворота, які включали будь-які трансцендентальні числа, ми могли б вибрати мінімальний набір трансценденталів та описати ворота-коефіцієнти по суті, як раціональні функції . Щоб отримати QFT як продукт таких воріт, ми повинні домовитись, щоб усі трансцендентальні компоненти скасувались (подібна річ повинна відбутися, щоб забезпечити, щоб кожен із воріт був єдиним); але тоді ми можемо також замінити всі трансценденталі на $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ , так що всі коефіцієнти є алгебраїчними. Тож ми обмежимось алгебраїчними воротами без втрати загальності.

Коефіцієнти кінцевих воріт, встановлених над можуть міститись у кінцевому ступені розширення , яке можна побудувати, розширивши на ці самі коефіцієнти. Однак ворота очевидно мають коефіцієнти, що належать розширенням поля над ступеня , тобто без обмеженого ступеня. Таким чином, сім'я QFT порядку не розкладається на будь-яку кінцеву множину воріт. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

Як наслідок, ми не можемо сподіватися, що в є які-небудь алгоритми, які покладаються на QFT через циклічні кільця необмеженого розміру - зауважте, що така ж проблема виникає для будь-якого сімейства схем, які могли б використовувати QFT довільного порядку. $\mathsf{EQP}$

— Ніль де Бодорап
джерело