Зведення до мінімуму Автомати, приймаючи

Який стандартний підхід щодо мінімізації Büchi-Automata (або також Müller-Automata)? Передача звичайної техніки з кінцевих слів, тобто встановлення двох станів рівними, якщо слова "вичерпані" станів, які приймаються, однакові, не спрацюють. Наприклад, розглянемо Büchi-Automoton, що приймає всі слова з нескінченним числом a, що складається з двох станів, початкового та кінцевого стану, а кінцевий стан вводиться щоразу, коли читається a, і початковий стан вводиться кожного разу a читається інший символ. За вищенаведеним визначенням обидва стани вважаються рівними, але згортання їх дає автомати, що складаються з одного стану, і тим самим приймають кожне слово.

В цілому -регулярні мови можуть не мати унікальної мінімальної DBW. Наприклад, мова "нескінченно багато a і нескінченно багато b" має дві 3-державні DBW (на малюнку заміни на ): ¬ a $\omega$$\neg a$$b$

Як бачите, вони не є топологічно рівнозначними.

Отже, проблема мінімізації важче, ніж кінцевий випадок, і насправді вона є повною NP .

Це питання породило багато літератури у 80-х роках, частково через поганий підхід до проблеми. Це досить довга історія, яку я спробую узагальнити у цій відповіді.

1. Відмінок кінцевих слів

У літературі можна знайти два визначення мінімальної DFA. Перший - визначити мінімальний DFA звичайної мови як повну DFA з мінімальною кількістю штатів, які приймають мову. Другий визначається довше, але він є математично привабливішим, ніж перший, і він надає сильніші властивості.

Згадаймо, що DFA є доступним, якщо для всіх q ∈ Q є слово u ∈ A ∗ таке, що i ⋅ u = q . Він повний, якщо для всіх q ∈ Q і a ∈ A визначено q ⋅ a .$(Q, A, \cdot, i, F)$$q \in Q$$u \in A^*$$i \cdot u = q$$q \cdot a$$q \in Q$$a \in A$

Нехай і A 2 = ( Q 2 , A , ⋅ , i 2 , F 2 ) - два повні, доступні DFA. Морфізм від A 1 до A 2 - функція φ : Q 1 → Q 2 така, що${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$$\mathcal{A}_1$$\mathcal{A}_2$$\varphi:Q_1 \to Q_2$

1. ,$\varphi(i_1) = i_2$
2. ,$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
3. для всіх і a ∈ A , φ ( q ) ⋅ a = φ ( q ⋅ a ) .$q \in Q_1$$a \in A$$\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

Можна показати, що з цих умов випливає, що обов'язково сюрєктивний (і, таким чином, | Q 2 | ⩽ | Q 1 | ). Крім того, існує максимум один морфізм від до і якщо цей морфізм існує, то і розпізнають одну і ту ж мову. Тепер можна показати, що для кожної мови існує унікальний повний доступний DFA приймає і такий, що для кожного повністю доступного DFA приймає$\varphi$$|Q_2| \leqslant |Q_1|$A 2 A 1 A 2 L A L LALA A L L A L A A${\cal A}_1$${\cal A}_2$${\cal A}_1$${\cal A}_2$$L$${\cal A}_L$$L$$\cal A$$L$, є морфізм від до . Цей автомат називається мінімальним DFA з . Зауважте ще раз, що оскільки кількість станів у менша за кількість станів у , також є першим значенням мінімальним.$\cal A$${\cal A}_L$$L$${\cal A}_L$$\cal A$${\cal A}_L$

Варто зазначити, що існує також відповідне алгебраїчне визначення для неповних DFA. Див. [Ейленберг, Автомати, Мови та машини , т. A, Academic Press, 1974] для більш детальної інформації.

2. Назад до нескінченних слів

Розширення першого визначення не працює, як показав Шаул у своїй відповіді. І на жаль, можна також показати, що універсальна властивість другого визначення не поширюється на нескінченні слова, за винятком кількох конкретних випадків.

Це кінець історії? Зачекайте секунду, є ще один мінімальний об'єкт, який приймає звичайні мови ...

3. Синтаксичний підхід

Повернемося спочатку знову до кінцевих слів. Нагадаю , що мова з є розпізнаються моноіднимі , якщо існує сюр'ектівен моноїд морфізм і підмножина з такої , що . Знову ж , існує моноідное , називається синтаксичної моноїд з , яка розпізнає і є фактором усіх моноїд розпізнають . Цей синтаксичний моноїд може бути визначений безпосередньо як коефіцієнт за допомогою синтаксичної збіжності зA ∗ M f : A ∗ → M P M f - 1 ( P ) = L M ( L ) L L L A A ∗ ∼ L L u ∼ L v  тоді і тільки тоді, якщо для всіх  x , y ∈ A ∗ ,  x u y ∈ $L$$A^*$ $M$$f:A^* \to M$$P$$M$$f^{-1}(P) = L$$M(L)$$L$$L$$L$$A^*$ $\sim_L$$L$, визначається так: Хороша новина полягає в тому, що цього разу цей підхід поширився на нескінченні слова, але для знаходження відповідних понять знадобилося багато часу. По-перше, підходяще поняття синтаксичної конгруенції було знайдено А. Арнольдом (Синтаксична конгруенція для раціональних мов, Theoret. Comput. Sci. 39 , 2-3 (1985), 333–335). Розширення синтаксичних моноїдів на встановлення нескінченних слів вимагало більш досконалого типу алгебр, що називаються в даний час алгебрами Вільке на честь Т. Вільке, який першим визначив їх (Т. Вілке, Алгебраїчна теорія регулярних мов кінцевих і нескінченних слова,

4. Висновок

Таким чином, існує математично обгрунтоване поняття про мінімальний об'єкт, який приймає заданий регулярний , але він не покладається на автомати. Це насправді досить загальний факт: автомати є дуже потужним алгоритмічним інструментом, але їх не завжди достатньо для обробки математичних питань на мовах.$\omega$