Проблеми в

Які проблеми, як відомо, належать до але невідомо, що вони належать до ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf P$

Точніше, мене цікавлять незалежні проблеми, тобто дерандомізація яких, як відомо, не рівнозначна. Наприклад, відомо, що дерандомізація ПДФ та багатоваріантна поліноміальна факторизація рівнозначна, і я вважав би їх лише однією проблемою.

Мотивація мого запитання полягає в тому, що прийнято говорити, що "в невідомо, що вони знаходяться в " $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{P}$ , мало проблем , але я не зміг знайти їх перелік. Зокрема, якщо мені доведеться навести проблеми в цій категорії, я зазвичай цитую факторизацію одновимірних многочленів над кінцевими полями або факторизацію багатофакторних многочленів. Я припускаю, що існують приклади, не пов'язані з поліноміальною факторизацією, наприклад, в інших областях, таких як теорія графів або формальна теорія мови.

PS: Мені цікаво, що подібне питання ще не існує на цьому веб-сайті. Мої вибачення, якщо я його просто не знайшов (або їх)!

derandomization

— Бруно
джерело

Відповіді на цю публікацію містять два приклади cstheory.stackexchange.com/questions/11425/…

— Мохаммед Аль-

Відповіді:

Якщо ви запитуєте про самостійні проблеми, як щодо:

Знайдіть простір в інтервалі , знайдіть два прайми, добуток яких знаходиться в проміжку , знайдіть три прайми, добуток яких знаходиться в інтервалі , Знайдіть чотири прайми, добуток яких знаходиться в інтервалі , знайдіть п’ять простих чисел, добуток яких знаходиться в інтервалі $[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
$[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
, . $[N, 65N/64]$
$\ldots$

Надзвичайно велика ймовірність, що якби ви насправді мали поліноміальний алгоритм для вирішення першого з них, у вас був би поліноміальний алгоритм для всіх них. Але я не бачу, як формально звести будь-яке з них до будь-якого з інших. Звичайно, проблема

Знайти просте в інтервалі $[N, N+\log^{17} N ]$

вирішує все це.

— Петро Шор
джерело

Якщо бути точним, що є рішенням цих проблем, які ви маєте на увазі? Спасибі.

— usul

@usul: Я не маю на увазі версію для вирішення цих проблем. Чи потрібно мені? Я усвідомлюю, що технічно БПП складається лише з проблем рішення. Здебільшого проблеми з рішеннями та проблеми з функцією є більш-менш рівнозначними, а це означає, що ви можете розглядати проблеми просто з рішенням без втрати загальності. Я не впевнений, що це правда для цього питання, і я не знаю, переймається ОП лише проблемами з рішенням чи ні.

— Петро Шор

Я просто запитую, бо не знаю точно, коли виникають важливі тонкощі. Я думаю, повинні бути деякі функції функцій, які, безумовно, знаходяться в "BPP", а не в "P", наприклад, створюють рядок складності Колмогорова

(?). Тож я подумав, що питання вказуватиме на проблеми з рішенням, і мені було цікаво, чи дійсною версією вашої відповіді (з урахуванням сучасних знань) буде, наприклад, "чи є прем'єр

n

$n$

[N, 5 N / 4]

$[N,5N/4]$

— usul

@usul: Для питання: "чи існує розквіт у

?", відомо, що існує алгоритм постійного часу. Це виглядає так: Скажіть "так", коли

і чітко перевірте, коли

. Вам потрібна деяка теорія чисел, щоб довести, що вона працює.

[N, 5 N / 4]

$[N, 5N/4]$

N > 10^{6}

$N > 10^6$

N \leq 10^{6}

$N \leq 10^6$

— Петро Шор

Гаразд, звичайно / добре. Я думаю, що я погоджуюся з коментарем Каве в цьому питанні, що природна відповідна проблема рішення є, якщо

, чи є пріоритет у

a, b

$a,b$

[a, b]

$[a,b]$

— usul

Існує особливе використання випадкових випадків, що є досить поширеним у параметризованій складності, що передбачає або лемму ізоляції , або лемму Шварца-Зіппеля . Приблизно це передбачає визначення великого переліку потенційних рішень та аргументацію того, що всі нерозв’язання "спарюються" (наприклад, підраховуються двічі), тоді як бажане рішення (і) рахуються лише один раз. Тоді або використовується лемма ізоляції для створення ситуації лише з одним найменшим рішенням, або визначає великий відповідний формальний многочлен над GF і використовує Schwartz-Zippel для перевірки того, чи існує якийсь непарний термін. (Я впевнений, що там є хороший огляд чи опитування, але на даний момент це прослизає.) $(2^\ell)$

Однак, я можу придумати лише два випадки, коли це використання призвело б до різниці між BPP та P.

Перший - це останній алгоритм для найкоротших двох непересічних шляхів ( авторський PDF ), Björklund та Husfeldt, ICALP 2014.

Друга - це параметризована задача - знайти простий цикл через набір K заданих елементів у графіку, тобто щось на зразок проблеми циклу Штайнера. Коли , ця проблема є у BPP від Björklund, Husfeldt, Taslaman, SODA 2012 ( посилання ). (Існує попередній детермінований алгоритм, але його залежність від експоненціально гірша.) Таким чином, можна було б визначити проблему "log-Steiner Cycle" (або як би ви хочете її назвати), і це відповідало б вашому питанню. $|K|=O(\log n)$ $|K|$

— Magnus Wahlström
джерело

Я не фахівець, але, можливо, деякі (не зовсім природні?) Приклади можна отримати безпосередньо за допомогою методики детермінованого зменшення проблем пошуку BPP до проблем рішення BPP , представлених у:

Оді Голдрайх, у світі P = BPP. Дослідження складності та криптографії 2011: 191-232

Зокрема див. Теорему 3.5: (зведення пошуку до рішення): Для кожної проблеми пошуку BPP існує бінарне відношення таке, що і розв’язування задачі пошуку $(R_{yes},R_{no})$ $R$ $R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$ $R$ детерміновано зводиться до якоїсь проблеми прийняття рішення в BPP, позначеної . Крім того, час, складність редукції є лінійної в ймовірнісної тимчасової складності пошуку рішень для , в той час як розподіл усіх час складність є твір квадратичного полінома і імовірнісна часова складність процедури прийняття рішень, гарантована для . $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$

Теорему можна поширити на загальні побудови задач, наприклад (див. Слідство 3.9 ) розглянути проблему знаходження простого простору у досить великому інтервалі:

$c > 7/12$ $N$ $[N, N + N^c]$

Рандомізований алгоритм працює в очікуваний час полінома; не відомий алгоритм детермінованого многочлена; але якщо BPP = P, такий алгоритм детермінованого поліноміального часу повинен існувати (тому що він може бути зведений до проблеми рішення BPP).

— Марціо Де Біасі
джерело