Чи є контрінтуїтивні результати в теоретичній інформатиці?

Деякі математичні та логічні парадокси, ймовірно, можна автоматично застосувати до комп'ютерів, але чи є парадокси, виявлені в самій інформатиці?

Під парадоксами я маю на увазі протилежні інтуїтивні результати, схожі на протиріччя.

Я вважаю той факт, що мережевий потік є поліноміальним лічильником часу інтуїтивним. На перший погляд це здається набагато складнішим, ніж багато проблем NP-Hard. Інакше кажучи, у CS є багато результатів, де час роботи для їх вирішення набагато кращий, ніж те, що ви очікували б.

$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$N E X P A C $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P}/poly$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{ACC}$

SAT має алгоритм багаточленного часу, лише якщо P = NP. Ми не знаємо, чи P = NP. Однак я можу записати алгоритм для SAT, який є багаточленним, якщо P = NP вірно. Я не знаю правильного посилання на це, але сторінка у Вікіпедії дає такий алгоритм і зараховує Левіна.

Обчислюваність, безумовно, закручує більшість учнів. Прекрасний приклад з високим рівнем плутанини:

$f(n) := \begin{cases}1, \quad \pi \text{ has } 0^n \text{ in its decimals} \\\\ 0, \quad else\end{cases}$

$f$ обчислюється ?

$f$

$IP = PSPACE$ , доведений за допомогою арифметизації близько 1990 року.

Як стверджують Арора та Барак (стор. 157), "Ми знаємо, що взаємодія сама по собі не дає нам жодних мов поза межами НП. Ми також підозрюємо, що сама рандомізація не додає значної сили для обчислень. Отже, яка потужність могла б поєднати рандомізацію та взаємодія забезпечити? "

Мабуть зовсім небагато!

Як сказав Філіп, теорема Райса є гарним прикладом: інтуїція людини перед вивченням обчислюваності полягає в тому, що ми, безумовно, повинні щось обчислити. Виявляється, ми можемо лише обчислити щось про деякі обчислення.

Як щодо публікацій Мартіна Ескардо, що показують, що існує нескінченна кількість наборів, за якими можна вичерпно шукати за обмежений час? Дивіться публікацію запрошеного блогу Ескардо в блозі Андрея Бауера, наприклад, на тему "Начебто неможливі функціональні програми" .

Теорема рекурсії, безумовно, здається протиінтуїтивною вперше, коли ви її бачите. По суті, це говорить, що коли ви описуєте машину Тюрінга, ви можете припустити, що вона має доступ до власного опису. Іншими словами, я можу створити машини Тюрінга на зразок:

TM M приймає n iff n - кратне тому, скільки разів "1" з'являється в рядковому поданні M.

TM N приймає кількість n і видає n копій себе.

Зауважте, що "представлення рядків" тут не стосується неформального опису тексту, а скоріше кодування.

Доведення інформаційно-теоретичних результатів на основі складності-теоретичних припущень є ще одним протиінтуїтивним результатом. Наприклад, Bellare та ін. у своїй роботі (Справжня) складність нульових статистичних знань конструктивно довели, що згідно з засвідченим припущенням дискретного журналу будь-яка мова, яка допускає чесні перевірки статистичних нульових знань, також допускає статистичні нульові знання.

Результат був настільки дивним, що здивував авторів. На цей факт вони вказували кілька разів; наприклад, у вступі:

Зважаючи на те, що статистичні нульові знання є обчислювальним незалежним поняттям, дещо дивно, що властивості щодо нього можна було б довести за припущенням обчислювальної внутрішньостабільності.

PS: Пізніший результат був згодом безумовно доведений Окамото ( Про відносини між статистичними доказами нульового знання ).

Опис деяких термінів

Оскільки вищевказаний результат включає багато криптографічного жаргону, я намагаюся неофіційно визначити кожен термін.

1. $p$$p-1$
2. Нульові знання : протокол, який не дає знань сторонам, обмеженим часом.
3. Нульові статистичні знання: Протокол, який не дає ніякої інформації, навіть обчислювально необмеженим сторонам, за винятком незначної ймовірності.
4. Чесні перевіряючі нульові знання: протокол, який не дає знань сторонам, обмеженим часом, якщо вони діють, як визначено протоколом.

Як щодо того, що обчислення постійних є # P-Complete, але обчислювальним визначальним фактором - таким чином, як більш дивна операція є у класі NC?

Це здається досить дивним - це не повинно було бути таким (а може, і було ;-))

Задача лінійного програмування вирішується в (слабо) поліноміальний час. Це здається дуже дивним: чому б нам вдалося знайти одну серед експоненціальної кількості вершин великого багатогранного політопа? Чому б нам вдалося вирішити проблему, яка так смішно виразна?

Не кажучи вже про всі лінійні програми експоненціального розміру, які ми можемо вирішити за допомогою еліпсоїдного методу та розділення оракулів та інших методів (додавання змінних тощо). Наприклад, дивовижно, що ПЗ з експоненціальною кількістю змінних, таких як релаксація Кармакар-Карпа в упаковці для сміття, можна ефективно оцінити.

Щоразу, коли я викладаю автомати, я завжди запитую своїх учнів, чи не вважають вони дивними, що недетермінізм не додає жодних сил автоматам з кінцевим станом (тобто, для кожного НФА існує еквівалент - можливо набагато більший - DFA). Близько половини класу повідомляє про здивування, тож ви їдете. [Я сам втратив "відчуття" за те, що дивує на вступному рівні.]

$R\neq RE$

Я виявив просту криптосистему з відкритим ключем з подвійним механізмом розшифровки трапокрила та її застосувань парадоксальним, оскільки це гомоморфна адаптована обрана система шифротексту.