Застосування складності Колмогорова в обчислювальній складності

44

Неофіційно кажучи, складність Колмогорова рядка - це довжина найкоротшої програми, яка виводить . Ми можемо визначити поняття "випадкова рядок", використовуючи його ( є випадковим, якщо ) Неважко помітити, що більшість рядків є випадковими (не так багато коротких програм). $x$ $x$ $x$ $K(x) \geq 0.99 |x|$

Теорія складності Колмогорова та теорія алгоритмічної інформації в даний час досить розроблені. І є кілька кумедних прикладів використання складності Колмогорова в доказуваннях різних теорем, які нічого не містять про складність Колмогорова у своїх твердженнях ( конструктивна LLL , нерівність Ломіса-Вітні та ін.).

Чи є приємні програми складності Колмогорова та алгоритмічної теорії інформації в обчислювальній складності та суміжних областях ? Я вважаю, що повинні бути результати, що використовують складність Колмогорова як пряму заміну простих аргументів підрахунку. Це, звичайно, не так цікаво.

— іляраз
джерело

2

Ви шукаєте лише приклади проблем, які спочатку, здається, не мають нічого спільного зі складністю Колмогорова? Існує безліч результатів обчислювальної складності різних множин, визначених з точки зору складності Колмогорова (особливо це набір випадкових рядків Колмогорова), а також безліч результатів, пов’язаних з обмеженими ресурсами складністю Колмогорова до стандартних речей складності (наприклад, P проти NP , факторинг тощо). Але я не впевнений, що останні - це те, що ви шукаєте, чи ні.

— Джошуа Грохов

1

> Ви шукаєте лише приклади проблем, які спочатку, здається, не мають нічого спільного зі складністю Колмогорова? Саме так.

— ilyaraz

16

Lance Fortnow написав статтю на цю тему: Складність Колмогорова та обчислювальна складність

Ви також повинні ознайомитись із Вступом до складності Колмогорова та його застосуваннями Лі та Вітанія, остаточною книгою з цього приводу. Зокрема, у розділі 6 «Метод незатиснення» обговорюється ряд застосувань за складністю, наприклад, доказ складності Колмогорова про переключення лемматики Хастада (від Circuit Lower Bounds à la Kolmogorov by Fortnow and Laplante).

І є додатки в складності комунікацій (наприклад, Складність Колмогорова та комбінаторні методи в ускладненні комунікацій Капланом і Лапланте).

— Ян
джерело

1

Дякую. Ця стаття є дуже приємною і корисною, але те, що я хочу, - це програми, не зазначаючи K-складність у заявах.

— ilyaraz

1

іляраз, хоча більшість результатів, згаданих у цій роботі, стосуються скоріше наслідків, а не застосувань, ви можете розглядати характеристики класів складності за комплексом Колмогорова як слабку форму «застосування».

— Джошуа Грохов

Я оновив публікацію з деякими посиланнями, які могли б більше відповідати тому, що ви шукаєте.

— Ян

14

Лише кілька днів тому Скотт Аронсон використав аргумент, заснований на складності Колмогорова, щоб показати рівнозначність вибірки та пошуку . Далі він стверджує, що в його аргументі складність Колмогорова використовується суттєво, це не просто короткий вираз аргументу підрахунку.

— Мартін Шварц
джерело

11

Цей результат Alon та ін. можна отримати за допомогою складності Колмогорова.

"Набір ребер E кожного кінцевого двобічного графіка можна розділити на підмножини щоб усі отримані двосторонні графіки були майже регулярними". $\mathrm{poly}(\log |E|)$

— іляраз
джерело

видається контрінтуїтивним. хтось знає про інші результати, що стосуються двосторонніх графіків та звичайних графіків?

— vzn

11

Один чудовий документ, про який я знаю (крім тих чудових робіт, згаданих в інших відповідях):

Юріс Хартманіс, Узагальнена складність Колмогорова та структура здійсненних обчислень , FOCS 1983.

Головне, що я пам’ятаю з цієї роботи, - це конструкція оракула, що відокремлює P від NP, заснованого на складності Колмогорова.

Ще один папір, який спадає на думку, - це

Allender та ін., Power від Random Strings , FOCS 2002 ( версія ECCC ) та SICOMP 2006 .

Якщо я пригадую, останній документ відокремлює повноцінність полінома-часу Тюрінга від повноти логістичного простору багато-однієї повноти в PSPACE, використовуючи аргументи складності Колмогорова. Звичайно, це робить багато інших речей, але я пам'ятаю, що розділення - це одна програма, яка становить незалежний інтерес поза алгоритмічною теорією інформації.

— Дейв Доті
джерело

9

Існує також квантова техніка нижньої межі, яка використовує складність Колмогорова:

" Нижня межа для рандомізованої та квантової складності запитів із використанням аргументів Колмогорова " Софі Лаплант та Фредерік Магнес

— Робін Котарі
джерело

9

$s$ $K(s)$

(Зараз про серйозний біт.) Нещодавно Даніїл Мусатов показав, що наївна дерандонізація може забезпечити розумні побудови для об'єктів, які, як правило, існують неконструктивно через імовірнісний метод. Я думаю, що це, ймовірно, забезпечить значні майбутні додатки обмеженої ресурсами складності Колмогорова до обчислювальної складності.

Даніїл Мусатов, вдосконалюючи космічну версію теореми умовної складності Мучніка за допомогою `` наївної '' дерандонізації , КСО 2011, LNCS 6651, 64–76. doi: 10.1007 / 978-3-642-20712-9_6 ( передрук )

Дивіться також документи, в яких цитується цей документ .

(Редагувати: посилання на більш пізню опубліковану версію.)

— Андраш Саламон
джерело

1

Я б сказав, що останній документ застосовує обчислювальну складність (а саме псевдовипадковий генератор Нісана) до обмеженої ресурсами складності Колмогорова, а не навпаки.

— ilyaraz

1

@ilyaraz: Це точне резюме. Я констатую, що, враховуючи посилання в одному напрямку, слід мати можливість змусити ці програми працювати і в інший спосіб.

— Андрас Саламон

8

Х. Бурман, Л. Фортнов та С. Лаплант. Складність Колмогорова, обмежена ресурсами, була переглянута. Журнал обчислювальної техніки SIAM, 31 (3): 887-905, 2002. ( журнал , веб-сторінка Ланс ).

Включає додатки складності Колмогорова, такі як:

Доказ Валіант-Вазірані
Задовільні призначення булевих формул можуть бути перераховані у поліномії часу у розмірі виводу, якщо унікальне призначення можна швидко знайти
Новий доказ того, що BPP знаходиться у Sigma_2 P
Кілька споруд оракул

Деякі з перерахованих вище були вперше доведені в цій роботі, інші - просто нові докази старих теорем, використовуючи складність Колмогорова.

Застосування обмеженої часом Колмогорова складності в теорії складності - це приємне опитування Еріка Аллендера з інших застосувань. Хоча для багатьох результатів тут є наслідки, деякі справжні програми, такі як:

Кор 13: Відносно загального оракулу немає псевдовипадкового генератора, який би був захищений від противників П / полі.
Thm 16 [Allender and Gore, 1991]: Є оракул, щодо якого всі предикати NE вирішуються в експоненціальному часі, і E = Union_k \ Sigma_k-TIME (n).

Обидва докази суттєво використовують складність Колмогорова.

— Джошуа Грохов
джерело

Я здогадуюсь, що оригінальний доказ Шипсера про "BPP знаходиться в Sigma_2" використовував складність Колмогорова.

— ільяраз

6

$D$ $D$

— іляраз
джерело

У цьому варіанті опитування, до речі, є недолік у доказі. Однак це можна виправити :)

— Григорій Ярославцев

Хочете допрацювати?

— ilyaraz

1 / n^{3}

$1/n^3$

1 / n^{1 + ϵ}

$1/n^{1 + \epsilon}$

5

Мінімальна довжина опису використовує складність Колмогорова (або їх наближення та узагальнення, що обумовлено невизначеністю) в інформаційно-теоретичному навчанні та теорії умовиводів. Зокрема, MDL використовується для пошуку пояснень даних, які, природно, уникають перевитрати.

Йорма Ріссанен дає хороший вступ до своєї концепції: http://www.mdl-research.org/jorma.rissanen/pub/Intro.pdf

— Росс Снайдер
джерело

3

Ви маєте на увазі щось подібне, ільяразе?

http://arxiv.org/abs/1004.3993

— Аарон Стерлінг
джерело

Так, це здається обнадійливим.

— ilyaraz