Як папір BosonSampling уникає легких класів складних матриць?

У складі обчислювальної складності лінійної оптики ( ECCC TR10-170 ) Скотт Ааронсон та Алекс Архипов стверджують, що якщо квантові комп'ютери можуть бути ефективно змодельовані класичними комп'ютерами, то поліноміальна ієрархія руйнується до третього рівня. Мотивуюча проблема - вибірка з розподілу, визначеного лінійно-оптичною мережею; цей розподіл може бути виражений як постійний певної матриці. У класичному випадку всі записи матриці є негативними, тому існує ймовірнісний поліноміально-часовий алгоритм, як показали Марк Джеррум, Алістер Сінклер та Ерік Вігода (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738). У квантовому випадку записи є складними числами. Зауважимо, що в загальному випадку (коли записи не повинні бути негативними) постійний не може бути наближений навіть у межах постійного коефіцієнта за класичним результатом Валіанта 1979 року.

У статті визначено розподіл визначений матрицею , та проблему вибірки$D_A$$A$

Вхід BosonSampling : матриця Зразок: з розподілу$A$
$D_A$

Використання результату твердості здається слабким доказом розмежування між класичним та квантовим світами, оскільки можливо, що клас матриць у конкретних квантових установках буде мати особливу форму. Вони можуть мати складні записи, але вони все ще можуть мати багато структури. Тому може існувати ефективна процедура вибірки таких матриць, хоча загальна проблема є # P-жорсткою.

Як використання BosonSampling у роботі уникає легких занять?

У роботі використовується багато досвіду, який у мене немає в квантовій складності. Враховуючи всіх квантових людей на цьому сайті, я дуже вдячний вказівнику в правильному напрямку. Як би утримуватись аргументи, якби виявити, що клас матриць зі складною оцінкою, який бачиш у певній експериментальній установці, насправді відповідає класу розподілів, з якого було легко вибирати? Або є щось притаманне квантовій системі, що гарантує, що цього не може відбутися?

Дякуємо за запитання! Є два відповіді, залежно від того, чи цікавите ви результати твердості для точного чи приблизного BosonSampling.

У точному випадку ми доводимо, що з урахуванням будь - якої n-на-n складної матриці A можна побудувати оптичний експеримент, який дає певний вихід з ймовірністю, пропорційною | Per (A) | ² . Це, у свою чергу, означає, що жоден класичний алгоритм багаточленного часу не може вибирати з такого ж розподілу, як оптичний експеримент (з урахуванням опису експерименту як вхідного), якщо тільки P ^#P = BPP ^NP . Насправді ми можемо посилити це, щоб надати єдиний розподіл D _n (залежно лише від вхідної довжини n), який можна відібрати за допомогою оптичного експерименту розміру poly (n), але який не може бути класифікований для вибірки в poly (n ) час, якщо P ^#P = BPP ^NP .

У наближеному випадку ситуація є складнішою. Наш головний результат говорить про те, що якщо існує класичний алгоритм багаточленного часу, який навіть приблизно імітує оптичний експеримент (у сенсі вибірки з розподілу ймовірностей на виходи, що становить 1 / poly (n) -закриття на відстані варіації), то в BPP ^NP , ви можете наблизити | Per (A) | ² , з високою ймовірністю для n-на-n матриці A iid Гаусса із середнім 0 та дисперсією 1.

Ми здогадуємось, що вищезазначена проблема є # P-жорсткою (принаймні, не в BPP ^NP ), а сторінки 57-82 нашої статті - все про докази цієї гіпотези.

Звичайно, можливо, наша гіпотеза помилкова, і насправді можна дати алгоритм багаторазового наближення постійних ідентичних матриць Гаусса. Це був би феноменальний результат! Однак вся суть 85% роботи, яку ми виконували, полягала в тому, щоб базувати все на думці про твердість, яка була максимально чистою, простою і «без кванта». Іншими словами, замість припущення

"наближення стійкості якихось дивних, спеціальних матриць, які трапляються в нашому експерименті, є # P-hard",

ми показуємо, що досить зробити припущення

"апроксимізація постійних матриць ius Гаусса є # P-жорсткою."