Знайти найменший DFA, який розділяє два слова, не використовуючи грубу силу пошуку?

З огляду на два рядки x і y, я хочу створити DFA мінімального розміру, який приймає x і відхиляє y. Один із способів зробити це - жорстокий пошук. Ви перераховуєте DFA, починаючи з найменшого. Ви спробуйте кожен DFA, поки не знайдете той, який приймає х і відхиляє y.

Я хочу знати, чи є якийсь інший відомий спосіб пошуку або побудови DFA мінімального розміру, який приймає x і відхиляє y. Іншими словами, чи можемо ми перемогти грубі сили пошуку?

Детальніше:

(1) Я дійсно хочу, щоб алгоритм знаходив DFA мінімального розміру, а не мінімального розміру DFA.

(2) Я не просто хочу знати, наскільки великий чи малий мінімальний показник DFA.

(3) Тут я зосередився лише на тому випадку, якщо у вас були два рядки x і y.

Редагувати :

Додаткова інформація для зацікавленого читача:

Припустимо, і - двійкові рядки довжиною не більше . Відомий результат, що існує DFA, який приймає і відхиляє з максимум станами. Зауважте, що існує близько DFA з двійковим алфавітом і не більше станів. Таким чином, підхід грубої сили не вимагає від нас перерахувати через більш ніж DFA. Звідси випливає, що підхід грубої сили не міг зайняти набагато більше часу.y n x y $x$$y$$n$$x$$y$ n$\sqrt{n}$$n^{\sqrt{n}}$ n$\sqrt{n}$ n$n^{\sqrt{n}}$$n^{\sqrt{n}}$

Слайди, які мені здаються корисними: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

Якби мені довелося це робити на практиці, я б застосував SAT solver.

Питання про те, чи існує DFA з станами, що приймає x і відхиляє y, може бути легко виражено як екземпляр SAT. Наприклад, одним із способів є наявність 2 k 2 булевих змінних: z s , b , t істинно, якщо DFA переходить зі стану s у стан t на вхідному біті b . Потім додайте деякі пропозиції, щоб переконатись, що це DFA, а також деякі змінні та пропозиції, щоб підтвердити, що він приймає x та відхиляє y .$k$$x$$y$$2k^2$$z_{s,b,t}$$s$$t$$b$$x$$y$

Тепер використовуйте двійковий пошук на щоб знайти найменший k такий, що існує DFA такого роду. Виходячи з того, що я читав у працях про пов'язану проблему, я би сподівався, що це може бути досить ефективно на практиці.$k$$k$

Можливі й інші кодування цього типу SAT. Наприклад, ми можемо використовувати кодування слідів:

• Якщо має довжину m , ви можете додати m lg k булеві змінні: нехай s 0 , s 1 , ... , s m - послідовність станів, що проходять на вході x , і представляти кожну s i, використовуючи ⌈ lg k ⌉ булеві змінні.$x$$m$$m\lg k$$s_0,s_1,\dots,s_m$$x$$s_i$$\lceil \lg k \rceil$

• Тепер для кожного такого, що x i = x j , у вас є обмеження, що s i - 1 = s j - $i,j$$x_i=x_j$ .$s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$

• Далі розгорніть це на обробку : нехай t 0 , ... , t n - послідовність станів, що проходять на вході y , і представляють кожну t j, використовуючи lg k булеві змінні. Для кожного i , j такого, що y i = y j , додамо обмеження, що t i - 1 = t j - $y$$t_0,\dots,t_n$$y$$t_j$$\lg k$$i,j$$y_i=y_j$ .$t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$

• Аналогічно, для кожного такого, що x i = y j , додаємо обмеження, що s i - 1 = t j - $i,j$$x_i=y_j$ .$s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$

• Обидві сліди повинні починатися з однієї і тієї ж початкової точки, тому додайте вимогу, що (WLOG можна вимагати s 0 = t 0 = 0 ).$s_0=t_0$$s_0=t_0=0$

• $k$$0 \le s_i < k$$0 \le t_j <k$$i,j$

• $x$$y$$s_m \ne t_n$

Усі ці вимоги можуть бути кодовані як пункти SAT.

$k$$k$