Системи векторного доповнення з кінцевими "перешкодами"

Система векторного доповнення (VAS) - це кінцевий набір дій $A \subset \mathbb{Z}^d$ . $\mathbb{N}^d$ - сукупність маркування . Перспективою є непустою словом маркування $m_0 m_1\dots m_n$ х $\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$ . Якщо таке слово існує, ми говоримо, що $m_n$ є доступним від $m_0$ .

Проблема доступності для VAS, як відомо, вирішується (але її складність є відкритою проблемою).

Тепер припустимо, що задано кінцевий набір заборонених маркування ( перешкод ). Мені хотілося б знати, чи проблема досяжності ще вирішується.

Інтуїтивно зрозумілий кінцевий набір перешкод повинен заважати шляхам лише локально, тому проблема повинна залишатися вирішеною. Але це не здається банальним для доведення.

EDIT . Я залишаю відповідь @ Jérôme як прийняту, але хотів би додати наступне запитання: що робити, якщо набір маркування $\mathbb{Z}^d$ ?

Ідея ґрунтується на дискусії, яку я провів сьогодні з Grégoire Sutre.

Проблема вирішується наступним чином.

Сітка Петрі - це кінцевий набір пар у N d × N d, що називається переходами. З огляду на перехід t = ( → u , → v ) , позначимо через t → бінарне відношення, визначене на множині конфігурацій N d від → x t → → y, якщо існує вектор → z ∈ N d такий, що → x = → u + → z і$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$ . Позначимо через T → відношення одномоментної досяжності⋃t∈T t → . Рефлексивне і перехідне замикання цього відношення позначається T ∗ → .$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$

Нехай - класичний компонентний парціальний порядок над N d і визначається → u ≤ → x, якщо існує → z ∈ N d такий, що → x = → u + → z . Закриття вгору множини → X з N d - це множина ↑ → X векторів { → v ∈ N d ∣ ∃ → x ∈ → $\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$. Закриттям набору множини → X є множина↓ → X векторів{ → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$.$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Зауважте, що якщо для деякого кінцевого набору → B з N d і якщо T - сітка Петрі, ми можемо обчислити нову мережу Петрі T → B , щоб для кожної конфігурації → x , → y маємо → x T → → y і → x , → y ∈ → U, якщо і тільки тоді, → x T → B → → $\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$1≤i≤dT → U ={t → b ∣t∈$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$ задовольняє вимогу.

Тепер припустимо, що - сітка Петрі, сукупність перешкод. Введемо скінченний набір . Зауважимо , що ми можемо ефективно обчислювати кінцеве безліч з таке , що . Нехай - двійкове відношення, визначене через по якщо , або існує така, що→ O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$→ x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Тепер просто зауважте, що якщо існує пробіг від початкової конфігурації до кінцевої яка уникає перешкоди , то існує такий, який уникає перешкоди в і це проходить через конфігурації в не більше ніж кардинал цього набору. Отже, проблема зводиться до вибору недетерміновано відмінних конфігурацій в , fix як початкова конфігурація , як остаточна , і перевірте, чи→ y → O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → $\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ для кожного . Ця остання проблема зводиться до класичних питань щодо доступності мереж Петрі.$j$

Я думав над вашим запитанням щодо систем додавання векторів із станами (VASS), які еквівалентні VAS, і придумав це рішення. Тепер я прочитав приємну відповідь Йерома, і мушу сказати, що моя відповідь дуже схожа, тому, будь ласка, прийміть його відповідь, навіть якщо ви вважаєте мою правильною.

Ідея: можна перетворити VASS у VASS який забороняє вектори менші або рівні перешкод. Це не саме те, що ми хочемо, оскільки дозволено досягти векторів, менших, але не рівних перешкодам. Однак таких векторів існує безліч. Це дозволяє декомпозицію мінімальних набігів на безмежно багато пробігів, які є або переходом або еквівалентним пробігом . Тому так , проблема вирішується.V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Подробиці: Нехай буде -VASS, тобто є кінцевим позначений граф таким чином, що . Нехай - сукупність перешкод. Нехай і , пишемо коли є запускається з для з кожної проміжної конфігурації в . Позначимоd V T ⊆ Q × Z d × Q O ⊆ N д л ∈ T * X ⊆ N$V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Нехай - мінімальний запуск, такий, що , тобто мінімальний запуск, який уникає перешкод. Тоді, за принципом голубої дуги, можна розподілити як пробіг, який вводить лише кінцево багато разів. Більш формально існують , і такий, що$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Тому достатньо здогадатися , та проміжних конфігураціях. Тестування, чи може можна перетворити у новий -VASS де кожен перехід замінюється гаджетом з переходів. Наприклад, якщо то переходи замінюються наступним чином:$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$