Цілісне лінійне програмування в логарифмічній кількості змінних

Я читав, що цілолінійне лінійне програмування розв’язується в поліномінальному часі, якщо фіксовано число змінних, тобто . Якщо кількість змінних зростає логарифмічно, тобто для заданого вводу розміру , проблема все ще вирішується в поліномінальний час або це відкрита проблема? $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— user3613886
джерело

Чи не можете ви додати тривіально правдиві обмеження для збільшення розміру вхідних даних?

— joro

Чому ви хочете збільшити розмір вводу?

— користувач3613886

Щоб зробити вхід таким великим, щоб кількість змінних була логарифмічною і відповідала вашому запитанню.

— Жоро

але в питанні ми вже припускаємо, що змінні є логарифмічними порівняно з розміром введення

— user3613886

Я думав зробити всі екземпляри як свої, але це може в значній мірі збільшити вклад.

— Жоро

Я можу дати лише часткову відповідь на це питання.

Результат Ленстра (пізніше вдосконалений Каннаном, Франком і Тардосом) стверджує, що ІЛП з змінними може бути розв’язаний за час (в рази поліноми розміром ILP). Тому ILP знаходиться в P, коли кількість змінних дорівнює . Я не впевнений, чи відомий алгоритм або чи такий алгоритм буде суперечити ETH. $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

Цю інформацію я знайшов у дисертації Даніеля Локштанова. Ось відповідні посилання.

HW Lenstra. Цілісне програмування з фіксованою кількістю змінних. Математика операційних досліджень, 8: 538–548, 1983.
Р. Каннан. Теорема опуклого тіла і програмування цілих чисел Міньковського. Математика операційних досліджень, 12: 415–440, 1987.
Андрас Франк та Єва Тардос. Застосування одночасного диофантинового наближення в комбінаторній оптимізації. Combinatorica, 7: 49–65, 1987.

— Майкл Лампіс
джерело

Я думаю, вам знадобиться алгоритм O (k ^ p) для фіксованого p, оскільки навіть алгоритм з 2 ^ O (k) був би експоненціальним?

— користувач3613886

Вибачте, я використав нове позначення від питання. Під я маю на увазі кількість змінних, а - розмір вхідного сигналу, тому алгоритм був би багаточленним, якщо .

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— Майкл Лампіс

Але припустимо, у вас є лише бінарні змінні, чи не було б грубою силою ?

2^{k}

$2^k$

— користувач3613886

@ user3613886, звичайно, звичайно, але це інша проблема / питання. Нам не обіцяли в питанні, що змінні є двійковими.

— DW

Чи не можете ви додати тривіально правдиві обмеження для збільшення розміру вхідних даних?

— Жоро