Слова Фібоначчі

Наступну проблему я зіткнувся у своєму старому підручнику з алгоритму чеського алгоритму, на жаль, не маючи натяків і рішень.

"Ми визначаємо слова Фібоначчі як , F 1 = b , F n + 2 = F n F n + 1 , де a і b - загальні літери. Як у заданому рядку (над потенційно великим алфавітом) ви можете знайти найдовше підслово Фібоначчі у лінійному часі? "$F_{0}=a$$F_{1}=b$$F_{n+2}=F_{n}F_{n+1}$$a$$b$

Я знаю рішення в квадратичному часі, але не можу звести його до лінійного. Хтось може вказати мені на правильний напрямок?

Очевидним шляхом є динамічне програмування: нехай зберігає дві літери, для яких словопорядку Фібоначчі i починається з позиції j , і обчислює це, дивлячись на F ( i - 2 , j ) і F ( i - 1 , j + fib ( i ) ) . Це займає максимум часу O ( n log n ) , оскільки існує лише логарифмічно багато можливих значень $F(i,j)$$i$$j$$F(i-2,j)$$F(i-1,j+\operatorname{fib}(i))$$O(n \log n)$$i$.

Але я підозрюю, що можуть бути лише позиції для яких F ( i - 2 , j ) не порожній (тобто, коли два слова однакової довжини Фібоначчі мають однакове перекриття, вони можуть перекриватися лише до постійна частка їх довжини, а не більша частина їх довжини). Непорожні позиції F ( i - 2 , j ) - єдині, для яких потрібно зробити розрахунок (постійний час) для F ( i , j $O(n/\operatorname{fib}(i))$$F(i-2,j)$$F(i-2,j)$$F(i,j)$. Отже, якщо моя підозра є правдивою, ви можете пришвидшити її до , відстежуючи список непорожніх позицій для кожного значення i та використовуючи список для i - 2, щоб прискорити обчислення списку для i .$O(n)$$i$$i-2$$i$

Якщо ви зберігаєте в масиві, простір все одно буде O ( n log n ) навіть після прискорення, але це може бути покращено, використовуючи хешблет. Або ж ви можете зберігати F у розфасованому масиві з O ( n ) log n- бітними словами (використовуючи спостереження, що вам потрібно лише знати, порожній він чи ні; ви можете знайти два символи для кожної підрядки, переглянувши перші два його положення у вхідному рядку).$F$$O(n \log n)$$F$$O(n)$ $\log n$