Чи достатньо сортувати для поліномічно багатьох послідовностей 0-1 для сортувальної мережі?

Принцип 0-1 говорить, що якщо сортувальна мережа працює для всіх послідовностей 0-1, то вона працює для будь-якого набору чисел. Чи є такий , що якщо мережа сортує кожну послідовність 0-1 від S, то вона сортує кожну послідовність 0-1, а розмір є многочленом у ? $S\subset \{0,1\}^n$ $S$ $n$

Наприклад, якщо складається з усіх послідовностей, де існує максимум прогони (інтервали) 1-х, то чи існує сортувальна мережа N та послідовність, яка не впорядкована N, якщо всі члени упорядковані N? $S$ $2$ $S$

Відповідь: Як видно з відповіді та коментарів до неї, відповідь полягає в тому, що для кожного несортованого рядка існує мережа сортування, яка сортує всі інші рядки. Простим доказом цього є наступне. Нехай рядок буде таким, що навіки і . Оскільки несортовано, після сортування повинно бути . Порівняйте з кожним для якого $s=s_1\ldots s_n$ $s_i=0$ $i<k$ $s_k=1$ $s$ $s_k$ $0$ $k$ $i$ . Потім порівняйте кожну пару так, що і багато разів. Це залишає всі рядкивпорядковані,виняткомможливо , який несортоване для , адля деяких інших рядківякі мають більш «Sніж . Тепер порівняйте для downto за винятком місця, де повинен пройти . Це буде сортувати все, крім . $s_i=1$ $(i,j)$ $i\ne k$ $j\ne k$ $s_k$ $s$ $1$ $s$ $s_k$ $i=n$ $1$ $s_k$ $s$ $s$

Оновлення: Цікаво, що станеться, якщо ми обмежимо глибину мережі . $O(\log n)$

ds.algorithms sorting sorting-network

— домоторп
джерело

Здається , що можливо ви повинні обмежити розмір сортувальної мережі , щоб бути менше , ніж розмір

. В іншому випадку, чи не могла мережа просто перевірити, чи є вхід одним із елементів

і діяти правильно, якщо так, інакше діяти неправильно?

S

$S$

S

$S$

— usul

@usul: Я не думаю, що мережа сортування може перевірити таке. Так чи інакше, природно працювати з сортувальними мережами, розмір яких поліноміальний в

n

$n$

— домоторп

Здається, ні. Аян Парберрі робить посилання на документ по Chung і Ravikumar, де вони нібито дають рекурсивне будівництво сортувальної мережі, сортує кожен бітові , але один, а в подальшому зробити висновок , що проблема перевірки сортувальної мережі є - повному. Я не можу знайти оригінальний папір одразу, але, безумовно, це відповідає моїй інтуїції. $co$ $NP$

Редагувати, щоб додати: Дійсно знайти таку мережу, яка пропускає рівно один рядок, дуже просто. Рядок, який буде пропущено, буде . Тепер ви просто хочете схему, яка сортує останні біт, потім сортує перші біт. Ця схема буде сортувати що завгодно щонайменше два с, очевидно, сортуватиме нульовий рядок і сортуватиме будь-яку рядок, починаючи з . $(1,0,\ldots,0)$ $n-1$ $n-1$ $1$ $0$

— Андрій Д. Кінг
джерело

Чи можна узагальнити приклад мережі сортування у вашій відповіді, щоб для будь-якого заданого рядка можна було побудувати сортувальну мережу, яка неправильно сортує цю рядок? Ви показуєте, як це зробити для одного конкретного рядка, а як щодо інших рядків?

— DW

1

$1$

n - 1

$n-1$

1

$1$

n - 1

$n-1$

Більш розслаблене: " Сильне недетерміноване зменшення Тьюрінга - методика доказування внутрішньостабільності " (Chung & Ravikumar) перелічує наступне, як лема 2.1: дана будь-яка несортирована рядок

x

$x$ , існує мережа сортування поліноміального розміру, яка сортує всі рядки, крім, крім

x

$x$ . Для доказу це посилається на "Про розмір тестових наборів для сортування та пов'язаних із цим проблем" (Chung & Ravikumar), але я не можу знайти копію останнього документу. Це справді означає, що відповідь на це питання - «Ні».

— DW

Документ

— Чунга