Наскільки швидким повинен бути недетермінований алгоритм для проблеми, завершеної EXPTIME, щоб мати на увазі ?

Наскільки швидким повинен бути недетермінований алгоритм для проблеми, завершеної EXPTIME, щоб мати на увазі ? Поліноміальний недетермінований алгоритм негайно має на увазі це, оскільки але ніхто не вважає . Якби я зробив алгебру правильно (див. Нижче), теорема про ієрархію часу все-таки дасть значення для пробігу часу для будь-якого суперполіноміального , але для все, що я знаю, є повні проблеми з ефективними скороченнями, які дозволяють повільнішим алгоритмам давати результат. Чи є проблеми, завершені EXPTIME, коли ми знаємо щось на зразок або $P \neq NP$ $P \neq EXPTIME$ $NP = EXPTIME$ $P \neq NP$ $O(2^n/f(n))$ $f(\cdot)$ $2^n/n$ $2^n/n^2$ при недетермінізмі достатньо?

Уточнення "алгебри": передбачає аргументом прокладки, тому недетермінований алгоритм для завдання, повного EXPTIME, також буде одним із задач, повних NEXPTIME. Для суперполіноміального це суперечить недетермінованій теоремі ієрархії часу, оскільки ми можемо зменшити, використовуючи деякий NTIME . $P = NP$ $EXPTIME=NEXPTIME$ $2^n/f(n)$ $f(\cdot)$ $L \in$ $(2^n)$

cc.complexity-theory

— Анонімний
джерело

Я думаю, що вам насправді потрібен час роботи щоб отримати протиріччя з теоремою часової ієрархії. Також я думаю, що це звучить досить малоймовірно.

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— Сашо Ніколов

Просто для повторного запитання: що є найбільшим де ExpTime NTime передбачає NP P?

f

$f$

\subseteq

$\subseteq$

(f (n))

$(f(n))$

⊈

$\not\subseteq$

— Каве

ps: якщо ви зареєструєте обліковий запис, ви можете легше редагувати своє запитання.

— Каве

Я вважаю , Сашо правильно, якщо

E X P T I M E = N E X P T I M E

$EXPTIME=NEXPTIME$ таке , що

L

$L$ є

E X P T I M E

$EXPTIME$ -повне і

L^{'}

$L'$ є

N E X P T I M E

$NEXPTIME$ -повне і

L^{'}

$L'$ зводиться до

L

$L$ в часі

O (n^{k})

$O(n^k)$ , то це все-таки можливо , що

L \in N T I M E (2^{\sqrt[k]{n}})

$L \in NTIME(2^{\sqrt[k]{n}})$ без будь-якого протиріччя, тому що екземпляр

L

$L$ може бути

O (n^{k})

$O(n^k)$ більшим, ніж

L^{'}

$L'$ .

— Джо Бебель

Відповіді:

Я думаю, що його легше перевернути.

Якщо , то для деякої постійної і будь-якої . Оскільки не містить , це означає, що ми не можемо вирішити, скажімо, всі проблеми в в для деякого . недетермінованого алгоритму часу для завдання, повного для при квазілінійних скороченнях, буде достатньо для доведення $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$ $c$ $T(n) > n$ $\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ $\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$ $\mathsf{DTIME}(2^n)$ $\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$ $\mathsf{DTIME} (2^n)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ .

— Рассел Імпальяццацо
джерело

Дякуємо, що час, щоб дати коротше пояснення, чому передбачає .

D T I M E (2^{n}) \subseteq N T I M E (2^{o (n)})

$DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

P \neq N P

$P \neq NP$

— Майкл Вехар

І, дякую за те, що вказували, що теорема про детерміновану або недетерміновану ієрархію часу може бути використана. :)

— Michael Wehar

Простий відповідь: Для кожного - проблеми існує деяка константа така що, якщо ми могли б вирішити проблему в , тоді . $EXPTIME$ $hard$ $c$ $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $P \neq NP$

Примітка: Постійна походить від вибухів розміру екземпляра, що є результатом зменшення. $c$

Обґрунтування: Нехай позначає - проблема. Це означає , що кожна проблема в поліноміальний час зводиться до . Насправді ми можемо показати більше. $X$ $EXPTIME$ $hard$ $EXPTIME$ $X$

Проблема прийняття для час обмежених детермінованих машин Тьюринга в і , отже, за поліноміальний час зводиться до . $2^n$ $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ $X$

Отже, повинна бути якась фіксована константа такою, щоб кожна проблема в була поліноміальною часом, зведеною до де розмір екземпляра дорівнює . Тобто, екземпляри розміру п зводяться до випадків розміру для . $c$ $DTIME(2^n)$ $X$ $O(n^c)$ $O(n^c)$ $X$

Тепер, якщо у нас було , то . Однак це означає (детальніше див. Нижче). $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ $P \neq NP$

Додаткові відомості: Можна показати, що . $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$

Іншими словами, якщо ви можете вирішити - задачу в поліноміальний час, то існує єдиний спосіб прискорити будь-яку проблему в . $NP$ $complete$ $NP$

Тепер припустимо, що . За попереднім (при = 1) отримуємо константу таку, що $P=NP$ $k$ $c^{\prime}$

N T I M E (n) \subseteq D T I M E (n^{c^{'}}) .

$NTIME(n) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}}).$

Далі ми можемо використовувати padding для збільшення масштабу цього включення та отримання

N T I M E (2^{n}) \subseteq D T I M E (2^{c^{'} n}) .

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}).$

Тоді за теоремою детермінованої ієрархії часу маємо для будь-якого .

N T I M E (2^{n}) \subseteq D T I M E (2^{c^{'} n}) ⊊ D T I M E (2^{(c^{'} + ϵ) n})

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}) \subsetneq DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n})$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

Тому ми не могли мати $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

Крім того, ми не могли мати тому що шляхом прокладки ми отримаємо . $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

Подальше запитання: чи є у когось якісь прості приклади - проблем, коли ми можемо легко визначити постійну розміру екземпляра ? $EXPTIME$ $complete$ $c$

— Майкл Вехар
джерело

Проблема прийняття сама по собі є , тобто мовою що складається з DTM які на вході приймають протягом кроків, тому що кожна мова має деякий який приймає за час для деякого , так що правильний вибір зменшує в . Зокрема, константа ( ) потім, здається, показує, що швидкість (тобто

D T I M E (2^{n})

$DTIME(2^n)$

E X P T I M E

$EXPTIME$

L = {⟨ T, x, 1^{m} ⟩}

$L = \{\langle T, x, 1^m \rangle\}$

T

$T$

x

$x$

2^{m}

$2^m$

L^{'} \in E X P T I M E

$L' \in EXPTIME$

T

$T$

x \in L^{'}

$x \in L'$

2^{O (| x |^{k})})

$2^{O(|x|^k)})$

k

$k$

m = O (| x |^{k})

$m = O(|x|^k)$

L^{'}

$L'$

L

$L$

c = 1

$c=1$

f (n)

$f(n)$ ) повинен бути експоненціальним, щоб показати , якщо ви вибираєте саме цю мову.

P \neq N P

$P \ne NP$

E X P T I M E

$EXPTIME$

— Джо Бебель

@JoeBebel Привіт Джо, дякую за коментар. Я думаю , що це цінно , що ви в подальшому розглядати цю проблему . Тут ми можемо сказати більше, ніж просто припускає . Для цієї конкретної штучної задачі ми можемо сказати щось на зразок для будь-якого , передбачає для всіх .

L

$L$

L \in N T I M E (2^{o (n)})

$L \in NTIME(2^{o(n)})$

P \neq N P

$P \neq NP$

L

$L$

k

$k$

L \in N T I M E (2^{\frac{n}{k}})

$L \in NTIME(2^{\frac{n}{k}})$

N T I M E (n) ⊈ D T I M E (n^{k - ϵ})

$NTIME(n) \nsubseteq DTIME(n^{k-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— Майкл Вехар