Чому неможливо оголосити принцип індукції для церковних цифр

Уявіть, ми визначали натуральні числа в залежно набраному лямбдальному обчисленні як церковні цифри. Вони можуть бути визначені наступним чином:

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

Однак, схоже, що ми не можемо визначити церковні цифри за таким типом принципу індукції:

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

Чому так? Як я можу це довести? Здається, проблема полягає у визначенні типу для Nat, який стає рекурсивним. Чи можна змінити обчислення лямбда, щоб дозволити це?

type-theory lambda-calculus dependent-type

— Костянтин Соломатов
джерело

Питання, яке ви задаєте, цікаве і відоме. Ви використовуєте так зване непередбачуване кодування натуральних чисел. Дозвольте мені пояснити трохи тло.

Враховуючи конструктор типу , нас може зацікавити "мінімальний" тип задовольняє . З точки зору теорії категорій є функтором, а - початковою -алгеброю. Наприклад, якщо то відповідає натуральним числам. Якщо $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$ $A$ $A \cong T(A)$ $T$ $A$ $T$ $T(X) = 1 + X$ $A$ то - тип кінцевих бінарних дерев. $T(X) = 1 + X \times X$ $A$

Ідея з тривалою історією є те , що початкова - алгебра є тип (Ви використовуєте позначення Agda для залежних продуктів, але я використовую більш традиційні математичні позначення.) Чому це має бути? Ну, по суті кодує принцип рекурсії для початкової алгебри: дається будь-яка -алгебра зі структурним морфізмом $T$

А : = \prod_{Х : Т у p е} (Т (Х) \to Х) \to Х .

$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$

A

$A$

T

$T$

T

$T$

Y

$Y$

, отримаємо гомоморфізм алгебри

від

f : T (Y) \to Y

$f : T(Y) \to Y$

ϕ : A \to Y

$\phi : A \to Y$

Таким чиномми бачимощоєслабопочатковим точно. Щоб це було початковим, ми повинні знати, що

також унікальний. Це неправда без подальших припущень, але деталі технічні та неприємні та вимагають ознайомлення з деяким довідковим матеріалом. Наприклад, якщо ми можемо показати задовільнутеорему параметричності, то ми виграємо, але є й інші методи (наприклад, масаж визначення

та припущення

-аксіоми та розширення функції).

ϕ (а) = а Y f .

$\phi(a) = a \, Y \, f.$

A

$A$

ϕ

$\phi$

A

$A$

K

$K$

Застосуємо сказане до : $T(X) = 1 + X$ У нас є церковні цифри! І тепер ми також розуміємо, що отримаємо принцип рекурсії безкоштовно, тому що церковні цифриєпринципом рекурсії для чисел, але ми не отримаємо індукцію без параметричності чи подібного пристрою.

N а т = \prod_{Х : Т у p е} ((1 + Х) \to Х) \to Х = \prod_{Х : Т у p е} (Х \times (Х \to Х)) \to Х = \prod_{Х : Т у p е} Х \to (Х \to Х) \to Х .

$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$

Технічна відповідь на ваше запитання така: існують моделі теорії типів, в яких тип SimpleNatмістить екзотичні елементи, які не відповідають цифрам, і, крім того, ці елементи порушують принцип індукції. Тип SimpleNatу цих моделей занадто великий і є лише слабкою початковою алгеброю.

— Андрій Бауер
джерело

Я погоджуюсь, що відповідь чудова, але тут можуть бути корисні декілька посилань: стаття Джиуверса про нерозбірливість індукції та праця Ніла К і Дерека Дрейєра про отримання (деякої) індукції від параметричності . Мені невідомий документ, який повністю досліджує відносини.

— коді

Я не надто сильний у посиланнях у цій галузі, дякую @cody!

— Андрій Бауер