Складність пошукової версії 2-SAT при допущенні

Якщо $\mathsf{L = NL}$ , то існує алгоритм журналу простору, який вирішує версію рішення 2-SAT.

• Чи відомо, що $\mathsf{L = NL}$ означає, що існує алгоритм простору журналу для отримання задовольняючого завдання , коли в якості вхідного даних задається задоволений екземпляр 2-SAT?

• Якщо ні, то що з алгоритмами, які використовують підлінійний простір (у кількості пропозицій)?

З огляду на виконаємо 2-CNF , можна обчислити конкретні задовольняють завдання е з допомогою NL-функції (тобто, є NL-предикат P ( φ , я ) , що говорить вам , є чи е ( х я ) вірно). Один із способів зробити це описано нижче. Я вільно використовую той факт, що NL закритий під A C 0 -виведеннями, отже, NL-функції закриті під складом; це наслідок NL = coNL.$\phi$$e$$P(\phi,i)$$e(x_i)$$\mathrm{AC}^0$

Нехай є задоволеним 2-CNF. Для будь-якого буквальних а , нехай → буде число літералів досяжні з спрямованого шляхом в імплікації графі ф і ← числа літералів , з яких можна досягти. Обидва обчислюються в NL.$\phi(x_1,\dots,x_n)$$a$$a^\to$$a$$\phi$$\let\ot\leftarrow a^\ot$$a$

Зауважте, що , а ¯ a ← = a → , через косу симетрію графіка імплікацій. Визначте завдання e так, щоб$\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$$\ob a^\ot=a^\to$$e$

• якщо , то e ( a ) = 1 ;$a^\ot>a^\to$$e(a)=1$

• якщо , то e ( a ) = 0 ;$a^\ot<a^\to$$e(a)=0$

• якщо ← = → , нехай я бути мінімальним , так що х I або ¯ х я з'являюся в сильно зв'язковий компоненті (він не може бути одночасно, так як φ здійсненна). Поставте e ( a ) = 1, якщо з'явиться x i , а e ( a ) = 0 в іншому випадку.$a^\ot=a^\to$$i$$x_i$$\ob x_i$$a$$\phi$$e(a)=1$$x_i$$e(a)=0$

Косо-симетрія графа означає, що , отже, це чітко визначене завдання. Більше того, для будь-якого ребра a → b у графі імплікації:$e(\ob a)=\ob{e(a)}$$a\to b$

• Якщо не досяжна з Ь , то ← < Ь ← і → > б → . Таким чином, e ( a ) = 1 означає e ( b ) = 1 .$a$$b$$a^\ot<b^\ot$$a^\to>b^\to$$e(a)=1$$e(b)=1$

• В іншому випадку, і б знаходяться в тому ж сильно зв'язковий компоненті, і ← = Ь ← , → = Ь → . Таким чином, e ( a ) = e ( b ) .$a$$b$$a^\ot=b^\ot$$a^\to=b^\to$$e(a)=e(b)$

Звідси випливає, що .$e(\phi)=1$