Другий найменший

Чи відомо про друге найменше - cut у потоковій мережі? Або, загальніше, про цю проблему: $s$ $t$

Вхід: мережа та число , все у двійковій формі . Вихід: A й найменший - зріз. $N$ $k$
$k$ $s$ $t$

A найменший - розріз - це будь-який - зріз, такий, що є рівно - розрізи, потужність яких $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

попарно різні і
справді менша, ніж ємність . $(S,T)$

Я хотів би знати, як це можна обчислити і чи можна це зробити ефективно, як у випадку . $k=1$

— Олівер Вітт
джерело

Ви можете знайти другий найменший зріз, додавши

вагу до всіх країв у найменшому розрізі, а потім обчисливши новий найменший зріз. Це, ймовірно, працює до тих пір, поки

закодовано в одинаковому (і, звичайно, для

постійному).

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus

Я не бачу, як це допомагає. Уявіть мережу шляху, що складається з трьох вузлів

тільки з двома ребрами

. Далі нехай ємності будуть

. Зрозуміло, що міні-зрізи

і другий найменший зріз

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

. Збільшення потужностей, як ви описали, знову призведе до отримання

мінімізації з ємністю

. Як мені зробити висновок про другий найменший зріз?

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Олівер Вітт

Додавання нижньої межі на ковпачок зрізу - це лінійна нерівність, просто додайте на один епсилон більший, ніж шапка min та запустіть LP. Ви можете повторити це k раз, щоб отримати те, що хочете. Це, ймовірно, може бути перероблено як модифікацію в мережі, але я не працював над цим.

— Каве

Я бачу, як це працює, якщо

знаходиться в одинарному кодуванні. Що, якщо воно двійкове? В цьому випадку модифікація мережі не може бути зроблено в

ітерацій.

k

$k$

k

$k$

— Олівер Вітт

Я сумніваюся, що є просте рішення, якщо k є двійковим. Ми можемо перевірити, чи є розріз кришки c, як я описав. Мені здається, що, по суті, підрахунок кількості можливих с, може бути пов'язаним з підрахунком кількості відповідностей і, ймовірно, # P-завершеним. (Це лише моя інтуїція, а не аргумент.)

— Каве

Другий найменший зріз і, загалом, найменший розріз, можна знайти в поліномії часу в і розмірі мережі. Побачити: $k$ $k$

HW Hamacher. алгоритм для знаходження кращі скорочення мережі. Опер. Рез. Лет. 1 (5): 186–189, 1982, дої: 10.1016 / 0167-6377 (82) 90037-2 . $(K\cdot n^4)$ $k$

HW Hamacher, J.-C. Пікард та М. Кейран. Знаходження найкраще вирізає в мережі. Опер. Рез. Лет. 2 (6): 303–305, 1984, дої: 10.1016 / 0167-6377 (84) 90083-X . $K$

$K$

— Девід Еппштейн
джерело

k

$k$

k

$k$

Я також це розумію: допускаються рівні ваги. Це, здається, не дає відповіді на питання. Тим не менш, я не знав про ці папери, дякую за це.

— Олівер Вітт

k

$k$

k

$k$