Простий шлях на дагу з відсталими краями

У чому полягає складність наступної проблеми ( P? NP-hard?): $\in$

Вхід: спрямований ациклічний графік , набір зворотних ребер , і два різних вузли і . $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

Запитання: Нехай позначає графік, утворений додаванням до ребер від . Чи існує простий шлях від до в який використовує принаймні один зворотний край? $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

Примітка: 0) Простий шлях - це шлях, в якому не повторюється вершина. Зворотний край - це край, що суперечить частковому порядку, що передбачається DAG. 1) проблема легка, якщо ми вимагаємо простий шлях використовувати саме один зворотний край (або постійне число) шляхом тривіального скорочення до неперервної задачі шляху, яка допускає просте рішення PTime у DAG ( Perl і Shiloach, JACM'78 ) 2) проблема неперервного шляху є повною NP у загальних графах ( Fortune et al., TCS'80 ).

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— Джозеф Стек
джерело

Це, безумовно , НЕ є оптимальним, але досить , щоб показати , що ваша проблема в P (якщо я не зрозумів що - то): нехай

- ребра

; застосувати алгоритм найкоротшого шляху від

до

до графи

для

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$

. Іншими словами, продовжуйте додавати ребро, вибране з

до графіка

поки не знайдете шлях від

до

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

— Marzio De Biasi

Марціо: але що, якщо шлях, який ви знайдете, використовує лише ребра в

, а жоден у

? Ще може існувати інший шлях, який також включає край

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

— Девід Еппштейн

Що дуже дратує вашу проблему, це те, що наступна пов'язана проблема легко вважається NP-важкою: заданий графік і дві вершинні пари (s, t), (s ', t'), щоб визначити, чи є вершина-роз'єднання шляхи від s до t і від s 'до t', навіть коли t = s ', і навіть на графіках, що є об'єднанням двох DAG. Але це, мабуть, не допомагає в питанні, яке ви задаєте.

— a3nm

Проблема непересічних шляхів є W [1] -твердою навіть у DAG, і це домашнє завдання показати, що це NP-Hard у DAG. Алгоритм Шилоаха розроблений для задачі двох непересічних шляхів, і дещо подібним чином працює для задачі k неперервних шляхів k у DAG, але це потребує часу n ^ k. Але принаймні визнає алгоритм XP для вашої проблеми.

— Саїд