Чи є в теоретичному КС якісь теми, які більше стосуються чистої математики?

11

Я аспірант теоретичних інформатик, зокрема алгоритмів наближення. Зараз я вважаю, що мене більше цікавить чиста математика (я можу це сказати, тому що, здається, мені більше подобалися курси математики, ніж курси CS). Я хотів би запитати, чи є сфери теоретичної інформатики, які є досить чистою математикою (якщо бути точнішою, область, яка цікавить чисту математику самостійно, не враховуючи додатків до CS), чи мені потрібно розглянемо головний перемикач. Я вже два з половиною роки займаюся програмою, тож я не впевнений, чи був би перемикачем гарною ідеєю в цей момент.

Єдине таке, що я міг знайти, це теорія мінорних графіків із перегляду списків прийняття топ-конференцій. Але це не вважається для мене «зоною», на яку я можу просто зосередитись.

reference-request soft-question

— науковий
джерело

3

Будь-яка сфера інформатики, що стосується чистої математики, швидше за все, буде мотивована більше інформатикою, ніж чистою математикою. Розгляньте цикли гамільтонів: що може бути більш чистою математикою, ніж турбота про цикли, що проходять через вершини цілого графа? Якщо це має зв'язки з логікою, чи це все ще не чудово з точки зору чистої математики? Але як ти можеш більше закріпитися в CS, ніж споглядати HAMCYCLE?

— Ніль де Бодорап

5

"Я можу це сказати, тому що, здається, мені більше подобалися курси з математики": я не думаю, що це дає достатньо гарне уявлення про те, що вас турбує в TCS, щоб відповісти на ваше запитання. Є багато багатьох речей, які цікавлять як спільноти TCS, так і математику, але питання, які задаються, зазвичай дещо інші. Також мені незрозуміло, чому теорія другорядних графів не є сферою, на яку можна зосередитись?

— Сашо Ніколов

5

У будь-якому випадку, деякі ідеї: метричні вкладення; Аналіз Фур'є на кінцевих абелевих групах; Марковські ланцюги на дискретному / кінцевому просторі стану.

— Сашо Ніколов

дещо пов’язані приклади «Непов’язаної» математики, що грає фундаментальну роль у TCS?

— vzn

Що стосується ризику перемикання, можливо, Exchange Exchange стек буде більш підходящим?

— Клімент

12

Ось ще три поля, які відповідають вашим критеріям.

Теорія категорій . Це, очевидно, цікаво для більшості чистих математичних полів, але також має дуже великий вплив у теорії (функціональних, послідовних) мов програмування.
Логіка , зокрема теорія доказів. Зв'язків з інформатикою занадто багато, щоб назвати, але логіка - це не лише багата сфера чистої математики, а основа математики.
Теорія чисел , "королева математики", яка вважалася позбавленою додатків ..., поки криптографія не з'явилася.

— Мартін Бергер
джерело

Примітка про логіку див. esp описової теорії складності (wikipedia)

— vzn

Я не впевнений, що теорія категорій (особливо, як використовується в CS) є цікавою для більшості математичних галузей на рівні дослідження, навіть якщо вона використовується як основна мова в декількох областях. Наприклад, хоча теорія категорій чітко виявляється на рівні досліджень в (деякій) алгебраїчній геометрії та теорії представлення, ця різновид теорії категорій сильно відрізняється від виду, що використовується в інформатиці, наскільки я можу сказати.

— Джошуа Грохов

1

@JoshuaGrochow Частково це правда, але це частково, тому що вона працює. Існують мучні підказки, які вказують на більш глибоку інтеграцію: (1) однозначні основи Воєводського намагаються уніфікувати ідеї шляху в теорії гомотопії з доказами логіки; (2) теорії вуглегебраїки дійсних чисел Павловича та ін; (3) категоричні основи квантової механіки, див., Наприклад, "Фізика, топологія, логіка та обчислення: камінь Розетта" Бееза та Стая.

— Мартін Бергер

9

Так: теорія графіків, обчислювальна геометрія, теорія складності, комбінаторика - це те, що я досліджую в КС. Векторні простори та теорія вимірювань можуть бути корисними і в теоретичному машинному навчанні.

Існує набагато більше чистої математики, зайнятої в теоретичному КС, але вони не вражають новинами так часто, як AI та машинне навчання, саме тому ви про них не чуєте багато.

Я особисто перейшов на CS з фізики та чистої математики (так, як абстрактна алгебра з математики), і ніколи не перестаю знаходити цікаві проблеми.

— Кенг
джерело

1

І я додав би дискретну геометрію до цього списку.

— Саріель Хар-Пелед

7

Теорія геометричної складності є надзвичайно "математичною", і багато її провідних дослідників є більш математиками. див., наприклад, Теорія геометричної складності: вступ для геометрів / Ландсберг
Теорія груп підключається до ТКС багатьма глибокими способами, наприклад, при вивченні проблеми слова, ізоморфізмів та невизначуваності. дивись , наприклад СЛОВО ПРОБЛЕМА І ізоморфізму ЗАВДАННЯ ДЛЯ ГРУПИ / Stillwell
деякі теорії автоматів дуже математичні , наприклад з'єднання напівгруп з кінцевим числом станів датчиків і т.д. дивись , наприклад , математичні основи теорії автоматів / Pin

— взн
джерело

2

Чому цитати навколо "математичного"?

— Джошуа Грохов

в деяких областях може бути важко відрізнити зміст "(T) CS" від "математичного", як постає питання, кінець цього речення повинен бути "провідними слідчими є [майже] більше математиків, ніж інформатики"; обидва поля повільно змішуються по-різному, це можна побачити протягом 20 століття, і воно продовжується / збільшується в 21 столітті. постійний синтез, напевно, гідний цілої книги, а деякі наближаються (наприклад, Девіс, Двигуни логіки: Математики та Походження комп'ютера ).

— vzn

Питання було досить чітким у цьому плані: "область, яка цікавить чисту математику сама по собі, не враховуючи додатків до CS". Це, безумовно, стосується багатьох, якщо не більшості математичних питань, що виникають у ГКТ.

— Джошуа Грохов

ось ще одна подібна переоцінка в теорії груп та проблематиці слова. ТРУГАЛЬНІ МАШИНИ СЛОВА ПРОБЛЕМИ / Міллер

— vzn

7

$\mathbb{B}$ $\mathbb{F}_2$

Наприклад, використовуються напівгрупи (також групи також відіграють важливу роль), і багато результатів щодо кінцевих напівгруп в останні роки спочатку були мотивовані теорією автоматів. Використовуються також семірінги (а не кільця): наприклад, тропічний семірінг вперше був введений в теорії автоматів перед тим, як він був використаний у тропічній геометрії , нова успішна область в математиці. Інші теми, пов'язані з автоматами, включають логіку та теорію кінцевих моделей (подумайте про теорему дерева Рабіна), топологію, подвійність та (квазі) -уніформні простори та деяку теорію чисел (зокрема, для питань, що стосуються систем числення та формальних рядів потужності), теорії ймовірностей ( особливо ланцюги Маркова) та теорія ігор.

— Ж.-Є. Шпилька
джерело

B

$\mathbb{B}$

B^{*}

$\mathbb{B}^*$

7

Якщо сказати трохи більше про теорію геометричної складності (GCT): це застосування алгебраїчної геометрії та теорії представлення до довгострокової програми для вирішення P проти NP. Питання, підняті в GCT, мають тенденцію до глибоких математичних питань, деякі з яких на протязі 100 років відносяться до піонерів алгебраїчної геометрії та теорії представлення - начебто, не мають нічого спільного з обчисленнями, але через GCT видно, що вони насправді тісно пов'язані з обчислювальною складністю - та інші, що викликають нові питання та ідеї з чистої математики (знову ж таки, алгебраїчна геометрія та теорія представлення).

— Джошуа Грохов
джерело

4

Не зовсім теоретична тема CS, але використовує багато результатів із теоретичного CS: вас може зацікавити перевірка програмного забезпечення, мета якої - забезпечити, щоб програма робила те, що вона повинна робити, і більше нічого. Серед різних методик цієї теми деякі особливо орієнтовані на математику. Багато критичних систем, зокрема, в галузі авіоніки / просторової / ядерної, було доведено таким чином, щоб забезпечити відсутність помилок.

Задіяно багато математичних полів: логіка, теорія доказів, теорія автоматів, теорія множин ...