Великі розбіжності між оперативною пам’яттю та складністю машини Тьюрінга

Якщо ми розглянемо лише проблеми в P, чи існують великі прогалини між найшвидшим відомим алгоритмом word-RAM та найшвидшим відомим алгоритмом машини Тьюрінга для конкретних проблем? Мене особливо цікавить, якщо існують широкі прогалини для природних проблем загального інтересу.

Відомо, що будь-яку проблему, яку ви можете обчислити на машині оперативної пам’яті за час , ви можете зробити це в машині Тьюрінга в часі, максимум . Вам потрібно зауважити, що загальний об'єм використовуваної пам'яті не може перевищувати , оскільки це означатиме, що ви робили більше операцій запису, ніж , тому кожен раз, коли ви отримуєте щось із оперативної пам'яті, Тьюрінг машині знадобиться в гіршому випадку час, щоб знайти потрібний елемент послідовно зі стрічки. Крім доступу до пам'яті, решта операцій повинна тривати приблизно один і той же час. І таким чином ви отримуєте зв'язане.$T(n)$$T(n)^2$$T(n)$$T(n)$$T(n)$

Наведений нижче приклад доводить, що алгоритму який приймає для вирішення проблеми у word-Ram, може знадобитися на 1-стрічковій машині Тьюрінга (TM ) , що в точності виконує всі розрахунки , зазначені . Я розумію, що питання стосується ТМ-стрічки, і я використовую лише це у своїй відповіді. Це редакція для вирішення зауважень Еміля Йерабека.$A$$O(n\log(n))$$O(n^2 \log(n)^3)$$A$

Ми знайдемо наступний більш загальний висновок . Для того, щоб довести , що ТМ може вирішити в проблема вирішена в з допомогою алгоритму на RAM, це НЕ досить запустити на ТМ. Розумний алгоритм може знадобитися. Те саме стосується, якщо потрібно довести накладні витрати . Доведення найменшого доказів існування розумного алгоритму, щонайменше, далеко не негайне. Це не узгоджується з іншими відповідями, які в основному пропонують лише моделювати / виконувати на TM всі обчислення RAM (алгоритму ), щоб оголосити складність TM, як$O(T(n)^2)$$O(T(n))$$A$$A$$O(n\log(n))$$A$$O(T(n)^2)$ або .$O(T(n)n\log(n))$

Проблема: нам надається масив / таблиця з цілими числами, кожне з яких зберігається у бітах. Нам видається другий масив з позиціями, кожен з яких записує кількість біт. Для будь-якого визначаємо якщо MOD MOD . В іншому випадку . Вихід . Я вважаю, що вхід подається у вигляді стрічки з$\texttt{tab}$$n=2k$$\log(n)$$\texttt{d}$$\log(n)$$\log(n)$$t\in[0..\log(n)-1]$$X_t=1$$\texttt{tab}[i]$$\texttt{d}[t]=\texttt{tab}[n/2+i]$$\texttt{d}[t]~\forall i\in [0..n/2-1]$$X_t=0$$\sum_{t=0}^{\log(n)-1} X_t$$n\log(n)+\log(n)\log(n)$ двійкові цифри, щоб відповісти на коментарі Еміля Єржабека.

Алгоритм на оперативній пам’яті$A$ ОЗУ з розміром слова потрібно = для читання вводу двійкового рядка дані. Але після прочитання даних він може працювати лише зі словами розміру . Алгоритм обчислює будь-який в , провівши всі і перевіривши умову. Основний цикл - FOR : обчислити . Загальна складність становить (читання даних) +$w=\log(n)$$O(n\log(n)+\log(n)^2)$$O(n\log(n))$$\log(n)$$A$$X_t$$O(n)$$i\in [0..n/2-1]$$A$$t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$$X_t$$O(n\log(n))$$O(n\log(n))$(робить обчислення), тому може це зробити все в на ОЗП.$A$$O(n\log(n))$

Алгоритм на 1-стрічці ТМ:$A$ Я стверджую, що для однієї стрічки ТМ потрібен час для фіксованого . З точки зору ТМ, визначення еквівалентне випробуванню рівності двох двійкових рядків довжиною . Наприклад, операція MOD MOD може бути еквівалентно видаленню біт з . У таких випадках визначення еквівалентно тестуванню рівності на бітових рядках довжиною . Загальновідомо, що перевірка рівності двох струн довжиною$O(n^2 \log(n)^2)$$t$$A_t$$O(n\log(n))$$\texttt{tab}[i]$$\texttt{d}[t]$$0$$\texttt{tab}[i]$$A_t$$n(\log(n)-1)/2$$m$вимагає на 1-стрічковому ТМ, але зараз я не можу знайти посилання. Однак я надаю доказ у пс. Якщо ТМ виконує основний цикл з , він повинен провести принаймні для кожного , в кінцевому підсумку в .$O(m^2)$$A$$O((n\log n)^2)$$t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$$O(n^2 \log(n)^3)$

пс. Я показую, що тестування рівності на бітових рядках з бітами не може бути швидшим, ніж тест на палиндром на рядках з бітами (як відомо, паліндром займає принаймні час). Ми можемо модифікувати будь-який алгоритм ТМ для тестування рівності для вирішення паліндром. Припустимо, тестування рівності ТМ починається з двох цілих чисел: одне зліва від голови, одне праворуч (це найпростіша форма введення для ТМ). Кожен рух по лівій позиції може бути відображений (відображений) над правими. Ми будуємо дзеркальну ТМ: щоразу, коли початкова ТМ знаходиться в положенні (зліва), дзеркальна ТМ знаходиться в положенні (справа). Якщо ТМ вирішив тестування рівності менше ніж$m$$m$$O(m^2)$$-x<0$$x$$O(m^2)$, ця модифікована дзеркальна ТМ дозволила б вирішити паліндром менше ніж .$O(m^2)$

Крім того, існують деякі алгоритми тестування рівності TM, і всі вони потребують квадратичного часу, оскільки їм потрібні певні зигзаги, див., Наприклад, Приклад машини Turing 2 за адресою course.cs.washington.edu/courses/cse431/14sp/scribes/ lec3.pdf