Протиінтуїтивні результати для студентів

Я шукаю приклади результатів, які суперечать інтуїції людей для загальної аудиторії. Результати, які, якби запитали у неекспертів "що вам каже ваша інтуїція?", Майже всі отримали б це неправильно. Заява результатів повинна бути легко зрозумілою для студентів з курсу / математики. Я в основному шукаю результати в галузі інформатики.

Які є найбільш контрунтні / несподівані результати (загального інтересу) у вашій місцевості?

Для загальної аудиторії ви повинні дотримуватися речей, які вони можуть бачити . Як тільки ви почнете теоретизувати, вони запустить свої мобільні телефони.

Ось кілька ідей, які можна розробити для завершення прикладів:

1. Є поверхня, яка має лише одну сторону .
2. Крива може заповнити весь квадрат .
3. Існують криві постійної ширини, крім кола.
4. Пофарбувати площину трьома кольорами можна таким чином, щоб кожен прикордонний пункт був трикордонним .

Якщо ви можете покластися на трохи математичних знань, ви можете зробити більше:

1. Є стільки непарних чисел, скільки є натуральних чисел.
2. Існує безперервна і ніде не диференційована функція .
3. Існує функція яка є розривною при всіх раціональних числах і диференційованою на всі ірраціональні числа.$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. Банаха-Тарського «парадокс» .

Для програмістів ви можете спробувати:

1. В неможливі функціонали : є програма , яка приймає предикат p : stream → bool, де streamє типом даних нескінченних двійкових послідовностей, і повертається , trueякщо і тільки якщо p αце trueдля всіх потоків α(це незліченну безліч), і в falseіншому випадку.

2. Можна грати в покер по телефону в довіреному способом , який запобігає обман.

3. Група людей може обчислити свою середню зарплату, не дізнавшись ніхто про зарплату іншої людини.

4. Існує програма, яка конструює двійкове дерево $T$ із такими властивостями:

   • дерево нескінченне$T$
   • не існує програми, яка простежує нескінченний шлях у $T$

$s_1, \ldots, s_n$

$x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$$f$$1$$x$

Інша ідея - відома гра для ілюстрації нульових доказів знань . Я думаю, що це пов'язано з Одедом Голдрейхом і схоже на нульове підтвердження знань для ізоморфізму графів.

Щоб зробити відповідь самостійною, ось гра. Припустимо, ви хочете переконати свого сліпого кольору, що ви можете сказати червоне із зеленого. У вашого друга є дві колоди карт, і він знає, що одна купа зеленого кольору, а друга - червоної. Він робить наступне, не бачивши його: з вірогідністю 1/2 він витягує одну карту з кожної колоди, з ймовірністю 1/4 він витягує дві карти з лівої колоди, а з імовірністю 1/4 він витягує дві карти з правої колоди . Потім він показує вам картки і запитує, чи вони одного кольору. Якщо ви не кольорові, ви, звичайно, можете відповідати правильно кожен раз. Якщо ви кольорові, ви провалитесь з вірогідністю 1/2. Отож, якщо цю гру відіграють 10 разів, ймовірність того, що ви зможете вигравати кожного разу, не будуючи кольорового сліпу, вкрай низька.

Кікер - це те, що якщо ваш друг знав, що два колоди карт - це два різних кольори, але не знав, який з них червоний, а який зелений, він все одно не буде знати в кінці цього! Отже, підсумовуючи:

1. У доказуванні є місце для випадковості.
2. Ви можете переконати когось, що щось знаєте, не даючи їм про це ніякої інформації.

$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

Проти інтуїтивно зрозумілим результатом теорії складності є теорема PCP:

$NP$$A$$A$

$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

виходячи з відповіді / кута MdB, класичним результатом чогось контрінтуїтивного на момент виявлення в TCS в його основах є існування самої (не) розбірливості . на рубежі 20- ^го століття Гільберт, відображаючи мислення інших провідних математиків того часу, подумав, що математику можна систематизувати (дещо у формі того, що ми зараз визнаємо алгоритмічним ) і дещо через поняття "фінітизм" ( який має грубі паралелі з ідеєю алгоритму як кінцевої послідовності кроків). він запропонував відомі відкриті проблеми в цьому напрямку. його (та інші) інтуїція виявилася помилковою на певний видовищний спосіб. контрзахист єТеорема Годельса та завдання зупинки . обидва спочатку були надзвичайно абстрактними поняттями / результатами та довгими, високотехнічними документами / аргументами, зрозумілими лише провідним математикам того часу, але тепер удосконалюються до більш простих концептуальних структур та навчаються для студентів. вони спочатку не розглядалися як два аспекти / обличчя одного і того ж явища, але зараз вони є.

також було потрібно близько ~ ¾ століття, щоб довести, що цілі рівняння Діофантіна не можна визначити, проблема 10-го Гільберта . це є контрінтуїтивним у тому сенсі, що завжди було відомо, що теорія чисел є надзвичайно складною, але концепція того, що деякі конкретні / ідентифікуючі проблеми в ній насправді можуть бути "неможливими для вирішення", була для когось майже шокуючою. нерозбірливість продовжує залишатись глибоким викликом у математиці / TCS, навіть якщо ми маємо десятиліття експоненціального збільшення апаратних засобів завдяки закону Мура та все ж масових суперкомп'ютерів, які в певному сенсі все ще "безсилі". деякі аспекти несподіваності нерозбірливості можна знайти в книзі « Математика, втрата певності » Кляйна.

Це здається очевидним, але з особистого досвіду думка, що можна оцінити медіану колекції предметів, використовуючи постійну кількість операцій, трохи шокує. І якщо це здається занадто технічним, ви завжди можете перетворити це у заяву про опитування на виборах (для отримання вибірки з помилкою 3% потрібно 1300 людей, незалежно від чисельності населення).

З цим пов'язаний парадокс дня народження .

Можливо, хорошим прикладом (не пов'язаним безпосередньо з обчислювальною складністю) є універсальність Тьюрінга простих обчислювальних моделей.

Наприклад, правило 110 є ефективним (слабким) універсальним:

Враховуючи (нескінченний) масив 0-1 (біло-чорних) комірок, правильно ініціалізованих, та прості правила заміни:

у нас є «робочий комп’ютер»! :-)

Для визначення поняття «слабкий» та «ефективний», а також для інших прикладів простих універсальних машин Тьюрінга дивіться: Turlough Neary, Damien Woods; Складність маленьких універсальних машин Тьюрінга: опитування .

Ще одним дивним прикладом є повнота Тюрінга "мови програмування" FRACTRAN :

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• $q_i$$n$

$n$

Ви також можете використовувати інші моделі, наприклад, системи циклічних тегів, мурашині автомати, ....
Не надто інтуїтивна ідея полягає в тому, що "обчислення" приховано майже скрізь ... Вольфрам написав 1192 сторінки, наповнені фігурами та текстом, щоб краще висловіть цю ідею у своїй «Новій формі науки» (так ... так ... незважаючи на критичні відгуки, я нарешті купив її копію :-)

Кілька хороших кандидатів у верхній частині моєї голови:

• Кожна NFA має еквівалентну DFA

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• Криптографія відкритого ключа

  • Виклик до функції із зашифрованими аргументами та отримання бажаного результату без розкриття інформації про ваші дані

  • Шифрування RSA

• Коди Рід-Соломона

• Лічильність

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• На більш філософському рівні мене здивувало, що машини Тьюрінга точно визначають обчислення