Умови простежуваності 3SAT-Задовільності

Мені цікаво конкретно, чи існує цікава умова щодо відсотка завдань, які відповідають формулі 3SAT, щоб гарантувати, що такі проблеми можна відстежувати.

Припустимо, наприклад, клас задач 3SAT, що з можливих призначень задовольняє булева формула; чи можемо ми ефективно знайти задоволення? Для чого є результуючою проблемою в P? $\epsilon(n) 2^n$ $2^n$ $\epsilon$

Редагувати примітку: Замінено на щоб очистити плутанину. $\epsilon$ $\epsilon(n)$

— Рафі Віттен
джерело

Просте спостереження: Якщо максимум обернено поліноміально малий, то вибіркова рівномірна кількість разів дасть рішення в очікуваний час полінома. Отже, якщо становить від 1 до 1 / poly (n), ця проблема проста (це в ZPP).

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— Робін Котарі

Аналогічно, якщо 1 / eps є квазіполіноміальним, то у вас є рандомізований алгоритм квазіполійного часу, який сам по собі був би дивовижним

— Suresh Venkat

Так. Якщо - константа (або ), і вам обіцяють, що принаймні усіх можливих призначень задовольняють вхідним 3CNF, тоді ви можете знайти таке призначення в детермінованому многочлени-часі. $0< \epsilon <1$ $1/\textit{polylog}(n)$ $\epsilon 2^n$

Алгоритми не є складними:

Затвердження: Під обіцянку зазначено, має існувати безліч розмір постійної змінних, вдаряється всі пункти в 3CNF, в тому сенсі , що кожен 3-пункт повинен містити змінну з . $S$ $S$

Доказ твердження (ескіз): інакше повинно існувати достатньо велике сімейство 3-клаузлів від 3CNF, в яких кожна змінна зустрічається лише один раз. Але ця сім'я, коли є достатньо великою, має вже менше, ніж частка задовольняючих завдань. QED $\epsilon$

Таким чином, ви можете працювати за всіма можливими (постійне число) призначень на . Під кожним фіксованим призначенням 3CNF стає 2CNF, припускаючи, що потрапляє у вихідний 3CNF. Тепер ви можете використовувати відомий багаточастовий детермінований алгоритм для пошуку задовольняючого призначення для формул 2CNF. Загалом ви отримуєте верхню межу полінома часу. $S$ $S$ $S$

Алгоритм роботи 2SAT - я думаю, вже в знаменитому документі С. Кука 1971 року.

Алгоритм для 3CNF походить від: Л. Тревісан Примітка про детермінований приблизний підрахунок для k-DNF In Proc. програми APPROX-RANDOM, Springer-Verlag, сторінка 417-426, 2004р

Оригінальний документ, що показує результат для 3CNF,: Е. Гірш, швидкий детермінований алгоритм для формул, які мають багато задовольняючих завдань , Journal of IGPL, 6 (1): 59-71, 1998

— Іддо Цамарет
джерело

Дякую за відповідь. Мене насправді цікавив непостійний але цікаво вивчити існування детермінованого алгоритму. Я відредагував це питання, щоб зробити його більш зрозумілим.

ϵ

$\epsilon$

— Рафі Віттен

@Rafi, я думаю, той же алгоритм працює для непостійного .

ϵ = 1 / p o l y l o g (n)

$\epsilon = 1/polylog(n)$

— Іддо Цамарет

Як ви конструюєте S?

— Radu GRIGо

@Radu, я думаю, ви можете це зробити жадібно: виберіть довільний перший пункт . Потім виберіть інший пункт , змінні якого не відрізняються від . Продовжуйте це робити, поки ви не зможете знайти пункт із непересічними змінними до вже вибраних пропозицій. Таким чином, змінні в обраних вами пунктах є набором дій.

C_{1}

$C_1$

C_{2}

$C_2$

C_{1}

$C_1$

— Іддо Цамарет