Докази, що розкривають більш глибоку структуру

Стандартний доказ зв'язаного Черноффа (з підручника « Рандомізовані алгоритми» ) використовує функції Маркова нерівності та моменти, що генерують трохи розширення Тейлора. Нічого занадто складного, але дещо механічного.

Але є й інші докази Черноффа, які розкривають більш глибоку структуру, що визначає результат. Наприклад, є інформаційно-теоретична версія, що застосовується методом типів, на прикладі цього документу Імпальяццо та Кабанця , а також у цьому короткому дописі Санджоя Дасгупта . Ці останні докази більш "інтуїтивні", оскільки вони забезпечують узагальнення стандартного результату, а також пояснюють, звідки беруться смішні терміни в експоненті (це KL-розбіжність).

Які хороші приклади таких речей? Щоб бути більш конкретним, ось такі правила:

1. Висловлювання повинно бути добре відомим (така річ, яку навчали б у якомусь випускницькому класі)
2. У підручниках або стандартних довідкових матеріалах, які "звичайно" навчаються, має бути "стандартний" доказ
3. Повинно бути альтернативним доказом, який не є настільки відомим, що НЕ є загальноприйнятим, і або доводить більш загальне твердження, або зв'язує твердження з більш глибокою математичною структурою.

Почну з двох прикладів.

1. Чернофф зв'язаний

   • Доказ "підручника": нерівність Маркова, функції, що генерують моменти, розширення Тейлора (MR)
   • Нечасті та проникливі докази: метод типів, показник хвоста, що включає KL-розбіжність

2. Лема Шварца-Зіппеля

   • "підручник" доказ: базовий випадок, що включає однозначний многочлен. Індукція на кількість змінних
   • "незвичайний" доказ: геометричний аргумент через Дану Мошковіц (і Пер Вогсен )

Приклад на відповідь будь-ласка.

ps Я не обов'язково маю на увазі, що слід навчати нечастому доказуванню : прямий доказ часто простіший для студентів. Але в тому сенсі, що "докази допомагають нам зрозуміти", ці альтернативні докази дуже корисні.

Я не впевнений, що це саме те, що ви шукаєте, оскільки я бачив "незвичайне" доказ у підручниках, але: час (O (n log n) обмежений для швидкості).

• Доказ "Підручник": встановити рандомізоване відношення повторення, довести за допомогою індукції, що воно має бажане рішення.

• "Нечасті" докази: знайдіть просту формулу для ймовірності порівняння будь-яких двох елементів (це просто 2 / (d + 1), де d - різниця між їхніми рядами в упорядкованому порядку), і використовуйте лінійність очікувань і гармонічний ряд для обчислення очікуваної кількості пар, які можна порівняти.

Доказ у підручнику вимагає менш творчого розуміння, але нечасті докази вводять техніку, дуже корисну для аналізу інших алгоритмів, наприклад, для рандомізованих покрокових алгоритмів обчислювальної геометрії.

$\Sigma_2^p$$\exists\forall$$\exists$$\forall$

$\sum_i a_iX_i$$\pm 1$ $X_i$$\sigma = \|a\|_2$$t \ge 2$

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] &=& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t a_{i_j}\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &\le& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t |a_{i_j}|\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &=& \sum_{\substack{i_1<\ldots< i_m\\ r_1,\ldots,r_m\\ \sum_j r_j = t\\ \forall j\ r_j > 0}} \binom{t}{r_1,\ldots,r_m}\left(\prod_{j=1}^m |a_{i_j}|^{r_j}\right)\left(\prod_{j=1}^m \mathbf{E}[X_{i_j}^{r_j}]\right) \end{eqnarray*}$$

$r_j$$0$$1$$X_i$$G_i$$r_j$$0$$r_j$ $1$

$$\mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] \le \mathbf{E}\left[\left(\sum_i |a_i|G_i\right)^t\right]$$

$2$$\sum_i |a_i| G_i$$\|a\|_2$$t$$\|a\|_2^t \cdot t! / (2^{t/2} \cdot (t/2)!)$$\|a\|_2^tt^{t/2}$

$$\mathbf{Pr}\left[\left|\sum_i a_iX_i\right| > \lambda\right] < 2^{O(t)}\cdot \lambda^{-t}\cdot \|a\|_2^t t^{t/2}$$ $t = \lambda^2 / (C\cdot \|a\|_2^2)$$C$$\mathrm{exp}(-\Omega(\lambda^2 / \|a\|_2^2))$$X_i$

$A$$r_i$$i$$A$

$$\prod_i (r_i!)^{1/r_i}.$$