«Вбудовування» мови в себе

Основне / загальне питання

Нехай - мова. Визначте мови допомогою і для . Розглянемо . Отже, ми неодноразово «вбудовували» у себе, щоб отримати . $L$ $L_i$ $L_0 = L$

L_{i} = {x w y : x y \in L_{i - 1}, w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$

i \geq 1

$i \geq 1$

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Чи вивчений ? Чи має це ім’я? $\hat{L}$

Приклади / Мотивація

Як вимагається тут у коментарях, наведено кілька прикладів, щоб краще проілюструвати, що таке . Тоді, оскільки, схоже, ніхто (поки що) не бачив цього поняття, я обговорю мою мотивацію до його погляду. $\hat{L}$

Клаус Дрейгер побив мене, додаючи приклади. Я наведу ці приклади з коментарів для збільшення наочності, оскільки вони є хорошими прикладами.

Якщо - одинарна мова , то (і, отже, регулярна). $L$ $\hat{L} = L^+$

Якщо , то є мовою Dyck . $L = {ab}$ $\hat{L}$

Ось альтернативний спосіб думати . Враховуючи мову над алфавітом ми граємо в наступну гру. Ми приймаємо будь-який Намагатися зменшити на порожній рядок шляхом багаторазового видалення подслова , які знаходяться в . (Тут потрібно трохи обережно ставитися до того, як ми ставимося до самої порожньої рядки, щоб переконатися, що це еквівалентно визначенню вище, але це морально правильно.) $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

Спочатку я прийшов визначити , розглядаючи питання про видалення повноважень словами. Візьміть як мову кубів над двійковим алфавітом . Тоді і ми можемо розглянути наступне " -відміни" $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

Зауважте, що не всі видалення спрацюють

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

і ми застрягли у слові без кубів. Отже, є ще одне позначення "сильно залежно від $L$ ", яке в цілому не збігається з $\hat{L}$ .

Один останнього приклад, якщо мовою квадратів над двійковим алфавітом , то є рядками як з парним числом «s і парним числом » с. Очевидно, що ця умова необхідна. Один із способів побачити це достатньо - розглянути питання про видалення квадратів і згадати кожне двійкове слово довжиною 4 або велике має квадрат. Тут є регулярним. $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

Для великих алфавітів цей аргумент не вдається, оскільки є довільно довгі слова без квадрата . З алфавітами розміру я можу показати, що не є регулярним використанням Myhill-Nerode, і факт є довільно довгі слова без квадратних слів, але я не зміг сказати набагато більше. Я сподівався, що погляд на це більш абстрактним чином може пролити деяке світло на ситуацію (і це більш абстрактне визначення здається цікавим саме по собі). $k \geq 3$ $\hat{L}$

reference-request fl.formal-languages

— Джон Мачачек
джерело

Чи можете ви навести кілька ілюстративних прикладів?

— ph

Деякі приклади: якщо є однотонною мовою , то - мова Дайка врівноважених рядків дужок; для мови над однотонним алфавітом отримуємо (тому в цьому випадку це завжди регулярно).

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

— Клаус Драгер

@phs Я змінив питання з (набагато) детальніше.

— Джон Мачачек

Ще один відносно простий результат в тому , що якщо

є контекстно-вільним, то і

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

— Клаус Драгер

Дякую за приклади та мотивацію. Зараз набагато простіше запам'ятати свою проблему і передати її. Продовжуйте оновлювати своє початкове запитання, якщо у вас є нові розробки.

— ph

Це питання пов'язане з так званими системами вставки .

Система введення являє собою особливий тип переписування системи, правила якої мають вигляд для всіх в заданому мовою . Напишемо , якщо і для деякого . Позначимо через рефлексивний транзитивне замикання відношення . Замикання мови з $1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ під - мова Згадаймо, щодобре квазіпорядокна множині є рефлексивним і перехідне відношення таке, що для будь-якої нескінченної послідовності елементів $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$ , є два цілих числа

такі, що

. У [1] доведена наступна теорема:

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$

Якщо - кінцевий набір слів, такий, що мова є кінцевим, то відношення - добре квазіпорядок на а регулярне. $H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] У. Бюхер, А. Еренфюхт і Д. Гауслер, Про загальні регулятори, що породжуються дериваційними відносинами, Теор. Обчислення. Наук. 40 , 2-3 (1985), 131– 148.

— Ж.-Є. Шпилька
джерело

Як зазначає J.-E. Пін зазначив, що моє питання стосується вставки . Я знайшов ще одне джерело, яке розміщу тут для всіх, хто цікавиться.

Л.Карі. Про введення та вилучення в формальних мовах. Кандидат наук Дисертація, Університет Турку, 1991.

Ось частина I та частина дипломної роботи.

З того, що я можу сказати, це першоджерело для вивчення вставки.

— Джон Мачачек
джерело