Кількість чітких відмінностей цілих чисел вибраних із

Під час своїх досліджень я зіткнувся з таким результатом.

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ де $m=\omega(\sqrt n)$ і $a_1,\cdots,a_m$ вибираються навмання з $[n]$ .

Я шукаю посилання / прямий доказ.

Перехрещений на МО

reference-request co.combinatorics pr.probability

— Чжу Чао
джерело

Якщо

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ , то максимальна кількість різних різниць, які ви можете отримати, становить

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ . Так що вам дійсно потрібно

m

$m$ рости швидше , ніж

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ для цього , щоб бути правдою. Що я хотів би зробити , це спробувати обчислити вірогідність того, що число

d

$d$ є НЕ різниця

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$ .

— Пітер Шор

@Shor: спасибі, я оновив питання. І справді оскільки

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ , то простіше обчислити конкретну різницю

d

$d$ .

— Чжу Чао

@ZhuCao, коли ти кажеш "вибрати

m

$m$ цілих чисел

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$ випадковим чином з

[1, n]

$[1,n]$ ", який розподіл ти маєш на увазі саме? Я припускав, що iid рівномірна

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$ .

— usul

@Andras ні, це не так. Наприклад, якщо число

1

$1$ не вибране (що відбувається з обмеженою вірогідністю від 0), різниця

n - 1

$n-1$ не може з'явитися, і

D_{n} < n

$D_n<n$ . Але чому це має бути так? Питання лише задає, що очікування

D_{n} / n

$D_n/n$ наближається до 1, а не, що

D_{n}

$D_n$ дорівнює 1 з великою ймовірністю.

— Джеймс Мартін

Будь ласка, не надруковуйте публікацію на кількох сайтах Exchange. Політика нашого веб-сайту забороняє одночасну перехресну публікацію: як мінімум, зачекайте тиждень. І якщо ви не отримаєте гарної відповіді, ви завжди можете позначити її для уваги модератора, щоб попросити її перенести.

— DW

Припустимо, як дано, що . $m=\omega(\sqrt{n})$

Виправте будь-який . Ми розглянемо з . Мета полягає в тому, щоб показати, що з великою часткою ймовірності як , включається в набір відмінностей. $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

Спочатку розглянемо множину . Кількість з така, що двочленна з очікуванням навколо . Тож з великою часткою ймовірності, як , кількість таких буде принаймні , що є . Тоді (стверджуємо, що "залишено як вправу", не важко показати) з великою часткою ймовірності як , множина має розмір принаймні . Напишемо для цієї "доброї події", що . $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

Припустимо, що дійсно виконується, тобто є принаймні виразні значення менші ніж , для . Зауважимо, що для кожного такого значення існує значення яке точно більше. Тепер розглянемо значення для . Вони незалежні і кожен з них має по крайней мере , ймовірність бути на відстані від елемента безлічі . Тоді ймовірність того, що різниці не утворюється, є максимум $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ що переходить до 0 як оскільки . Отже, ймовірність того, що дотримується, але різниці розмірів існує, як правило, дорівнює 0 як . $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

Отже (рівномірно в ) ймовірність включення у множину відмінностей має тенденцію до 1 як . Отже, використовуючи лінійність очікування, Оскільки довільний, ліміт дорівнює 1, як бажано. $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— Джеймс Мартін
джерело

Чи розглядаєте ви кожну різницю як незалежну у виразі , і якщо так, чи виправдано це?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@James О, тепер я бачу, де я пропустив це . Дякую.

n

$n$

— Даніель Солтеш

@usul: вибачте, мій аргумент був неохайним і неповним. Я розширив його - я думаю, він зараз утримує воду.

— Джеймс Мартін