Пошук упередженої монети за допомогою декількох кидок монети

Наступна проблема виникла під час досліджень, і це напрочуд чисто:

У вас є джерело монет. Кожна монета має ухил, а саме ймовірність того, що вона впаде на «голову». Для кожної монети незалежно існує ймовірність 2/3, що вона має зміщення щонайменше 0,9, а з іншою часткою ймовірності її зміщення може бути будь-яким числом [0,1]. Ви не знаєте ухилів монет. Все, що ви можете зробити на будь-якому кроці - це кинути монету і спостерігати за результатом.

Для даного n ваше завдання - знайти монету з ухилом не менше 0,8 з вірогідністю принаймні . Чи можете ви це зробити, використовуючи лише викиди монет O (n)? $1-\exp(-n)$

ds.algorithms pr.probability

— Дана Мошковіц
джерело

Мені здається дуже малоймовірним, оскільки

здається, потрібні лише для того, щоб визначити, чи є дана монета з великим ухилом чи ні з упевненістю

. (Ми можемо також припустити, що кожна монета має ухил

або

.) Чи є у вас щось краще, ніж

кидок?

O (n)

$O(n)$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

0.9

$0.9$

0.8 - ϵ

$0.8-\epsilon$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— usul

Я не перевіряв математику, але наступна ідея виглядає багатообіцяючою: Для кожної монети (підряд) робіть наступний тест. Виберіть параметр

, скажімо,

і виконайте випадкову прогулянку по лінії за допомогою монети. На кожному кроці

, якщо відступ від

менше

, відкиньте монету. Монети з ухилом .9 повинні пройти це випробування з постійною ймовірністю, а невдалі монети повинні вийти з ладу після очікування кроків O (1), за винятком монет зі зміщенням дуже близьким до

. Вибір

випадковим чином між

та

для кожної монети може це виправити.

p

$p$

0.85

$0.85$

i

$i$

0

$0$

p \cdot i

$p \cdot i$

p

$p$

p

$p$

.84

$.84$

.86

$.86$

— daniello

Буде

добре? Чи знаєте ви рішення з

кидок?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Робін Котарі

Спостереження №1: Якби ви знали, що всі монети мають ухил принаймні 0,9 або максимум 0,8, можна було б знайти монету з ухилом не менше 0,9 з імовірністю 1-exp (-n), використовуючи O (n) кидок : візьміть монету, за i = 1,2,3, ..., киньте монету протягом 2 ^ i разів і перевірте, чи частка головок становить щонайменше 0,89. Якщо ні, перезапустіть новою монетою. Ключова лема: якщо перезапустити на фазі i, тоді було менше 2 ^ {i + 1} монетних кидків, і проблема може бути не більше exp (- \ Omega (i)).

— Дана Мошковіц

Цілком можливо, що O (nlogn) фліп є необхідним і достатнім, але у нас поки немає доказів для цього.

— Дана Мошковіц,

$O(n \log n)$

$1-\exp(-n)$ $N$ $2$ $100n$ $200n$ $n$ $C$ $N$ $C$

$i=1,\dots,\log N$
$C$ $D_i = 2^i 10^{10}$
$N/2^i$

Доказ ґрунтується на декількох межах Черноффа. Основна ідея полягає в тому, що ми кожен раз наполовину збільшуємо кількість кандидатів і таким чином можемо дозволити собі вдвічі більше кидок кожної монети.

— Каспер Зелений Ларсен
джерело

(1) Було б непогано записати доказ більш докладно - велика частина труднощів у цій проблемі полягає в тому, де розмістити поріг для пов'язаної з Черноффом (скільки голів ви очікуєте побачити з монет 0,9 зміщення?) . (2) Чи можете ви показати, що необхідні метання монет nlogn?

— Дана Мошковіц

Тонкість полягає в наступному: ви починаєте з n монет, і крім випадкової величини n, розміром у n, є щонайменше 0,6n монет з ухилом 0,9. Зараз є постійне завдання, що монети 0,9 зміщення програють конкуренцію: 1 монета зі зміщенням менше 0,8 (може траплятися постійно на голову!), 2 монети з ухилом 0,8 + 1 / logn, ..., n / 10 монет з ухилом 0,9 - 1 / log n. Продовжуйте аналогічним чином, коли зміщення вибраних монет погіршується з кожною ітерацією, поки не залишиться монета зміщення <0,8.

— Дана Мошковіц

O (n)

$O(n)$

Дякую за довідку! Мене цікавить максимальна кількість викинутих монет, які потрібні, і для цього вони показують n ^ 2 нижньої межі. Однак проблема, яку вони вважають, відрізняється від моєї. У них n монет, може бути лише одна, яка є найбільш упередженою, і вони хочуть знайти монету з подібним ухилом. У моїй установці я знаю, що є щонайменше 0,6 н монет з прийнятним зміщенням (за винятком випадкових малих експоненціально малих).

— Дана Мошковіц,

O (n)

$O(n)$

m = Θ (n)

$m=\Theta(n)$

Θ (\cdot)

$\Theta(\cdot)$

0.85 m

$0.85m$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

2 / 3

$2/3$

i

$i$

(1 / 2)^{i}

$(1/2)^i$

\sum_{i = 0}^{\infty} m / 2^{i} = O (m) = O (n)

$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$